2.1 一元二次方程-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

第２章　 一元二次方程 ２．１　一元二次方程 知识点一　一元二次方程 一个方程是一元二次方程,需要具备以下三个条件: (１)方程的两边都是整式．反例: １ x－３x ２＝０不是一元二 次方程． (２)只含有一个未知数．反例:xy－x２＝０不是一元二次 方程． (３)未知数的最高次数是２次．反例:x３－３＝x２ 不是一 元二次方程． 【例１】下列关于x 的方程中,哪些是一元二次方程? ①３x２＋ １ x－２＝０ ;　② ３x２－ ２ ４x－ １ ２＝０ ; ③x２＝６;　④x２－xy＋１＝０;　⑤－２x２＝０; ⑥２x２＋２x＝５＋２x２． 解:①中分母含有未知数,不是整式方程,所以它不是一 元二次方程; ②中方程的两边都是整式,只含有一个未知数,且未 知数x 的最高次数是２次,符合一元二次方程的特 征,是一元二次方程; ③整理,得x２－６＝０,是一元二次方程; ④中含有x,y 两个未知数,所以它不是一元二次 方程; ⑤是一元二次方程; ⑥整理,得２x－５＝０,未知数x 的最高次数是１次, 所以它不是一元二次方程． 综上所述,②③⑤是一元二次方程． 　 % 对一元二次方程定义的理解 判断一个方程是不是一元 二次 方 程,首 先 要 化 简 整 理,使方 程 的 右 边 为 ０,左 边合并同类项,然后观察是 否满足一元二次方程的三 个条件．要特别注意: (１)“整式方程”应理解为未 化简(去分母、去括号、移项 和合并同类项)时,方程两 边均是整式． (２)“只含有一个未知数,未 知数的最高次数是２次”是 针对方程整理后而言的． １３ 　 　 'F (１)一元二次方程的二次项 系数、一次项系数和常数项 是针对一元二次方程的一 般形式而言的．因此,求 一 元二次方程的各项系数和 常数项时,应先把一元二次 方程化为一般形式．同时要 注意写项和各项系数时都 包括它前面的符号． (２)一 元 二 次 方 程 的 二 次 项、一次项和常数项是相对 于未知数来说的,除表示未 知数的字母外,其他已知字 母应作为系数来看待． 'F 一元二次方程的一般形式 不是唯一的,但习惯上都把 二次项系数化为正整数． 知识点二　一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式及特点 (１)一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方 程都可以化为ax２＋bx＋c＝０(a,b,c为已知数,a≠ ０)的形式,这就是一元二次方程的一般形式． (２)特点:方程左边是二次整式,右边是０． 一元二次方程的各项及其系数 一元二次方程的特殊形式 一元二次方程的特殊形式 b,c的取值 ax２＋bx＝０(a≠０) c＝０ ax２＋c＝０(a≠０) b＝０ ax２＝０(a≠０) b＝０,c＝０ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:我们在写一元二次方程的一般形式时,通常 按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再 写一次项,最后是常数项． 【例２】将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写 出二次项系数、一次项系数和常数项． (１)x(x－２)＝４x２－３x; (２) x２ ３－ x＋１ ２ ＝ －x－１ ２ ; (３)关于x 的方程mx２－nx＋mx＋nx２＝q－p(m＋ n≠０)． 解:(１)去括号,得x２－２x＝４x２－３x． 移项、合并同类项,得－３x２＋x＝０,即３x２－x＝０． 其中二次项系数为３,一次项系数为－１,常数项为０． (２)去分母,得２x２－３(x＋１)＝３(－x－１)． 去括号、移项、合并同类项,得２x２＝０． 其中二次项系数为２,一次项系数为０,常数项为０． ２３ 　(３)移项、合并同类项,得(m＋n)x２＋(m－n)x＋ p－q＝０． 其中二次项系数为m＋n,一次项系数为m－n,常数 项为p－q． 4 　　一般先通过“去分母、去括号、移项和合并同类 项”等步骤得到一元二次方程的一般形式ax２＋bx＋ c＝０(a≠０),再确定各项的系数．若没有出现一次项 和常数项,则b＝０,c＝０． 知识点三　一元二次方程的根 一元二次方程的根的特征 (１)是方程未知数的取值; (２)能使一元二次方程的左、右两边相等． 检验一元二次方程的根的方法———代入法． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈�