4.2 一次函数-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

４．２　一次函数 'F (１)一 次 函 数 自 变 量 的 取 值范 围 是 全 体 实 数,但 在 实际 问 题 中 要 考 虑 实 际 意义． (２)常 数 项b 可 以 为 任 意 实数． 　知识点一　一次函数 概念 如果函数的表达式是关于自变量的一次式,那么这样 的函数称为一次函数． 一般形式 y＝kx＋b(k,b为常数,k≠０)． 【例１】下列函数表达式:①y＝－x;②y＝２x＋１１;③y＝ x２;④y＝ １ x ,其中一次函数的个数是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:③y＝x２中自变量次数是２,不是一次函数;④y＝ １ x 分母中含有自变量,不符合一次函数的形式;①②都 符合一次函数y＝kx＋b(k,b 为常数,k≠０)的形式, 是一次函数．综上所述,一次函数的个数是２． 答案:B 判断一次函数的方法 　　将函数表达式恒等变形,看是否符合y＝kx＋b 的结构特 征:(１)k≠０;(２)自 变 量 x 的 次 数 是 １; (３)等号右边必须是整式． 　知识点二　正比例函数 一次函数的一般形式为y＝kx＋b(k,b 为常数,k≠０)． 特别地,当b＝０时,一次函数y＝kx(k 为常数,k≠０)则 为正比例函数,k是比例系数． 【例２】当m 取何值时,y＝xm２－３＋m＋２是正比例函数? 分析:根据正比例函数的定义,知x 的次数必须是１,同 时常数项为０． ２９１ 解:因为y＝xm２－３＋m＋２是正比例函数, 所以m２－３＝１,且m＋２＝０．所以m＝－２． 所以当m＝－２时,y＝xm２－３＋m＋２是正比例函数． 判断正比例函数的几点注意 (１)自变量的次数为１; (２)常数项为０; (３)自变量的系数不为０． 　知识点三　一次函数的实际应用 判断一次函数模型的分析思路 (１)分析题设中所给的等量关系,用表格表示因变量 与自变量之间的关系． (２)分析因变量与自变量的变化,如果因变量随自变 量的变化是均匀的(即自变量每增加１个最小单位, 因变量都增加(或都减少)相同的数量),那么因变量 一定是自变量的一次函数．如: 根据条件列一次函数表达式的步骤 第１步:认真分析,理解题意; 第２步:和列方程解应用题的思路一样,找出等量关系; 第３步:把等量关系写成一次函数表达式的形式y＝ kx＋b(k,b为常数,k≠０); 第４步:注意x 的取值范围,对于实际问题,取值范 围改变,函数表达式有可能随之改变． 【例３】汽车由天津开往相距１２０km 的北京,若它的平 均速度为６０km/h,写出汽车与北京的距离s(km)与 行驶时间t(h)之间的函数表达式． 分析:汽车与北京的距离＝总路程－已行驶路程,把相 关数值代入即可,自变量的取值应保证时间为非负 数,距离为非负数． 解:汽车行驶路程为６０t,所以汽车与北京的距离s(km) 与行驶时间t(h)的函数关系及自变量的取值范围是 s＝１２０－６０t(０≤t≤２)． 'F 正比例函数一定是一次函 数,但一次函数不一定是正 比 例 函 数,其 关 系 如 下 所示． ３９１ １．若y 关于x 的函数y＝ (m－１)x|m|－５是一次 函数,则m 的值为 (　　) A．±１　　　　B．－１ C．１　　 D．２ ２．若y＝(a＋３)x＋a２－９ 是y 关于x 的正比例函 数,求a的值． ３．A,B两地相距４００km, 甲 车 从 A 地 出 发,以 ６０km/h的 速 度 匀 速 行 驶到 B 地,设 甲 车 离 B 地的距离为y(km),行 驶的时间为x(h),求y 关于x 的函数表达式,并 题型一　利用一次函数及正比例函数的概念求 字母的值 【例１】已知y 关于x 的函数表达式为y＝x|a|－２＋a－３, 若函数是一次函数,则a＝　　　　;若为正比例函 数,则a＝　　　　． 审题关键:抓住一次函数及正比例函数的特征,求得字 母的值． 解析:若函数y＝x|a|－２＋a－３是一次函数, 则|a|－２＝１,所以a＝±３． 若函数y＝x|a|－２＋a－３是正比例函数, 则|a|－２＝１,且a－３＝０,所以a＝３． 答案:±３　３ " 确定一次函数及正比例函数中字母值的步骤 第１步:根据一次函数及正比例函数的概念列出 方程; 第２步:解方程求出未知数的值; 第３步:求出未知数的值必须保证自变量的系数不 为０． 题型二　建立一次函数模型解决实际问题 【例２】一盘蚊香长１０５cm,点燃后每小时缩短１０cm． (１)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间 t(h)之间的函数表达式; (２)该蚊香可燃烧多长时间? 审题关键:确定题目中的等量关系列出一次函数即可． 破题思路:(１)根据蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧 的长度,用t表