4.1 函数和它的表示法-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

第４章　一次函数 ４．１　函数和它的表示法 'F (１)变 量 与 字 母 的 指 数 无 关,例如,在y＝x２ 中,不 能说x２,y 是变量,只能说 x,y 是变量． (２)在一个变化过程中,变 量和常量可能不止一个． 　知识点一　变量与常量 概念 变量:取值会发生变化的量 常量(或常数):取值固定不变的量 理解 变量和常量是相对的,前提是“在一个变化过程中”．当 变化过程改变时,同一个量的“身份”也可能随之改变． 例如,在s＝vt中,当s一定时,v,t为变量,s为常量; 当v一定时,s,t为变量,v为常量． 【例１】分别指出下列关系中的变量和常量: (１)圆的周长公式l＝２πr(l是周长,r是半径); (２)正多边形的内角和公式α＝(n－２)×１８０°(α 是正 多边形的内角和,n 是正多边形的边数); (３)一种商品的单价为a,购买该商品所付的总金额y 与购买数量x 的关系为y＝ax． 解:(１)π是常量,l与r是变量． (２)－２和１８０°是常量,n 和α是变量． (３)a 是常量,y 与x 是变量． 抓住“变”字辨常量与变量 判断一个量是不是变量,关键是看在某个变化过 程中,这 个 量 的 取 值 是 否 发 生 变 化,即 要 抓 住 一 个 “变”字,不变就是常量,变化就是变量． ０８１ 　知识点二　函数 函数的定义 定义 一般地,如果变量y 随着变量x 而变化,并且对于 x 取的每一个值,y 都有唯一的一个值与它对应, 那么称y 是x 的函数 注意 事项 (１)必须是两个变量,不能多,也不能少; (２)一个变量的值随另一个变量的值的变化而 变化; (３)自变量每确定一个值,因变量都有唯一确定的 值与它对应,可以是“一对一”或“多对一” 函数值 对于自变量x 取的每一个值a,因变量y 的对应值 称为函数值,记作f(a)． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:根据表示函数关系的代数式,若已知自变量 的值,可以通过代数式求出对应的函数值;反之若 已知函数值则可以通过解方程,求出相应的自变 量的值． 【例２】下列关系中,y 不是x 的函数的是 (　　) A．y＝ ３ ２x　　B．y＝ １ x　　C．y＝x ２　　D．|y|＝x 解析:在y＝ ３ ２x ,y＝ １ x ,y＝x２ 中,对于x 的每一个确定 的值,y 都有唯一确定的值和它对应,符合函数的概念, 而在|y|＝x 中,x 每取一个正数,y 都有两个值与其对 应,不符合函数的概念,所以y 不是x 的函数． 答案:D y值是否唯一是关键 以等式的形式给出两个变量x,y 之间的关系,要 判断y 是不是x 的函数,关键是看自变量x 每取一个 确定的值时,函数y 是否都有唯一确定的值与其对 应．若有唯一确定的值,则y 是x 的函数,否则y 就不 是x 的函数． 'F 理解函数概念,应抓住“一、 二、一”．开 始 的 “一”是 指 “在一个变化过程中”,“二” 是指“有两个变量”,最后的 “一”是指“对于x 的每一个 确定的值,y 都有唯一确定 的值与其对应”．  函数不是数,函数的本质是 对应．函数关系就是变量之 间的对应关系,且是一种特 殊的对应关系,一个变量的 数值随着另一个变量数值 的变化而变化． １８１ % 函数值y 是在自变量x 取 值的条件下求得的因变量 的值,因此叙述函数值时, 一定要带上自变量取值条 件,即 “当 x ＝ 某 值 时, y＝某值”．  自变量的取值范围可以是 无限的,也可以是有限的, 还可 以 是 几 个 数,甚 至 是 单独的一个数．例如,在函 数y＝ －x２ 中,自变量x 的取值范围是x＝０． 【例３】已知y＝ x－２ ２x＋１ ,求当x＝１,－１时y 的值． 解:当 x＝１ 时,y＝ １－２ ２＋１＝ － １ ３． 当 x＝ －１ 时,y＝ －１－２ －２＋１＝３． 　知识点三　函数自变量的取值范围 函数自变量的取值必须满足的条件 (１)自变量的取值要使函数有意义; (２)是自变量取值的全体． 求函数自变量取值范围的方法 (１)几种常见的函数表达式的自变量的取值范围 类型 特点 举例 自变量的取值 范围 整式型 等号右边是关于 自变量的整式 y＝５x－６ 全体实