2.6 菱形-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

２．６　菱　形 　知识点一　菱形 　菱形与平行四边形的关系 (１)示意图: (２)符号表示:如图２．６Ｇ１所示,如果四边形ABCD 是 平行四边形,且 AB ＝AD,那么四边形 ABCD 是 菱形． 图２．６Ｇ１ 【例１】如图２．６Ｇ２所示,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的 平分线,DE∥AC,DF∥BC,四边形 DECF 是菱形 吗? 试说明理由． 图２．６Ｇ２ 解:四边形DECF 是菱形． 理由:因为DE∥AC,DF∥BC, 所以四边形DECF 是平行四边形． 因为CD 平分∠ACB,所以∠１＝∠２． 因为DF∥BC, 所以∠２＝∠３, 所以∠１＝∠３,所以CF＝DF, 所以▱DECF 是菱形． 'F (１)菱 形 必 须 满 足 两 个 条 件:①是平行四边形;② 一 组邻边相等．二者必须同时 具备,缺一不可． (２)菱形的定义既是菱形的 性质,也是菱形的基本判定 方法． 生活中的菱形 ３１１ 'F (１)菱 形 是 特 殊 的 平 行 四 边形,所 以 菱 形 具 有 平 行 四边 形 的 一 切 性 质,如 对 角 相 等,对 角 线 互 相 平 分等． (２)菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直平分,但不一定相等,不 要与矩形的相混淆． (３)矩 形 和 菱 形 都 是 建 立 在 平 行 四 边 形 的 基 础 上, 矩形 是 附 加 一 个 直 角,而 菱形是附加一组邻边相等． (４)矩 形 的 两 条 对 角 线 把 矩形分割成四个面积相等 的等 腰 三 角 形,而 菱 形 的 两条对角线把菱形分割成 四个全等的直角三角形．  菱形的每一条对角线都平 分一组对角． 知识点二　菱形的性质 性质 符号语言 图示 边 四条边相等 因为四边形ABCD 是菱形, 所以AB＝BC＝CD＝AD 角 菱形的 对 角 相等 因为四边形ABCD 是菱形, 所 以 ∠DAB ＝ ∠BCD, ∠ABC＝∠ADC 对 角 线 菱形的 对 角 线互相垂直, 且平分 因为四边形ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD,AO＝CO, DO＝BO 对 称 性 菱形是中心对称图形,对角线的交点是它 的对称中心;菱形是轴对称图形,两条对角 线所在直线都是它的对称轴 菱形ABCD 图２．６Ｇ３ 【例２】如图２．６Ｇ３,在菱形ABCD 中, 对角线 AC 与BD 相交于点O, BD＝１２cm,AC＝６cm．求 菱 形 ABCD 的周长． 解:因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC⊥BD,AO＝ １ ２AC ,BO＝ １ ２BD． 又因为AC＝６cm,BD＝１２cm, 所以AO＝３cm,BO＝６cm． 在Rt△ABO 中,由勾股定理,得 AB＝ AO２＋BO２ ＝ ３２＋６２ ＝３５(cm)． 所以菱形ABCD 的周长为４AB＝４×３５＝１２５(cm)． 图２．６Ｇ４ 巧用四分之一菱形解题 (１)因为菱形的对角线互相垂直平 分,所以两条对角线把菱形分成了 四个全等的直角三角形．通过研究 其中一个直角三角形,可以解决与 菱形有关的很多问题． (２)如图２．６Ｇ４,在菱形中,根据勾股定理可得边长的平 方等于对角线长的一半的平方和,即c２＝ ( a ２) ２ ＋ ( b ２) ２ ． ４１１ 　知识点三　菱形的面积 利用平行四边形的面积公式计算 S菱形 ＝底×高． 图２．６Ｇ５ 将菱形分割成三角形计算 如图２．６Ｇ５所示,因为菱形的对角 线互相垂直,且把菱形分成四个全 等的直角三角形,所以S菱形ABCD ＝ ２S△ABC＝４S△AOB＝ １ ２AC 􀅰BD． 图２．６Ｇ６ 【例３】如图２．６Ｇ６所示,已知菱形 ABCD 的对角线AC 长为２cm, ∠BAD＝１２０°,对 角 线 AC 和 BD 相交于点O,求这个菱形的 面积． 解:方法１:因为四边形ABCD 是 菱形, 所以AC⊥BD,AO＝ １ ２AC＝１cm , BO＝ １ ２BD ,∠BAO＝ １ ２∠BAD＝６０°． 在Rt△AOB 中,∠ABO＝９０°－∠BAO＝３０°, 所以AB＝２AO＝２cm, 所以BO＝ AB２－AO２ ＝ ２２－１２ ＝ ３(cm), 所以BD＝２BO＝２３cm, 所以S菱形ABCD＝ １ ２AC 􀅰BD＝ １ ２×２×２３＝２３ (cm２)． 图２．６Ｇ７ 方法２:如图２．６Ｇ７所示,过点 A 作AH⊥BC,垂足为点 H． 因为∠BAD＝１２０°, 四边形ABCD 是菱形, 所以∠ABC＝６０°,AB＝BC, 所以△ABC 为等边三角形, 所以AB＝BC＝AC＝２cm． 因为AH⊥BC,所以BH＝CH＝１cm, 所以AH＝ AB２－BH２ ＝ ２２－１２ ＝ ３(cm), 所以S菱形ABCD＝BC􀅰AH＝２× ３＝２３(cm２)．  利用对