2.5 矩形-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

２．５　矩　形 'F (１)矩 形 必 须 满 足 两 个 条件: ①是平行四边形; ②有一个角是直角． 二者缺一不可． (２)矩 形 的 定 义 既 是 矩 形 的性 质,也 是 矩 形 的 基 本 判定方法． (３)矩 形 是 特 殊 的 平 行 四 边形,但 平 行 四 边 形 不 一 定是矩形． 　知识点一　矩形 　矩形与平行四边形的关系 (１)示意图: 图２．５Ｇ１ (２)符号表示:如图２．５Ｇ１所示,如果四 边形 ABCD 是平行四边形,且∠A＝ ９０°,那么四边形ABCD 是矩形． 【例１】已知在四边形 ABCD 中,AD 􀱀 BC,请添加一个条件,使四边形ABCD 成为矩形,加上的条 件 可 以 是 ．(只 填 一 个 即可) 解析:由AD􀱀BC 可知,该四边形是平行四边形．根据矩 形的定义,知只要加上条件“一个角是直角”即可,故填 ∠A＝９０°或∠B＝９０°或∠C＝９０°或∠D＝９０°皆可． 答案:∠A＝９０° 　知识点二　矩形的性质 性质 符号语言 图示 边 对边平行 且相等 因为四边形ABCD 是矩形, 所以AB􀱀CD,AD􀱀BC 角 四个角都 是直角 因为四边形ABCD 是矩形, 所 以 ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA＝∠DAB＝９０° 对 角 线 对角线相 等且互相 平分 因为四边形ABCD 是矩形, 所以 AC ＝BD,且 AO ＝ CO＝BO＝DO 对 称 性 矩形是轴对称图形,过每一组对边中点 的直线都是矩形的对称轴 矩形是中心对称图形,对角线的交点是 它的对称中心 矩形ABCD ００１ 图２．５Ｇ２ 【例２】如图２．５Ｇ２所示,在矩形ABCD 中,对 角 线 AC,BD 相 交 于 点 O, ∠BOC＝１２０°,AB＝６． 求:(１)对角线的长; (２)BC 的长; (３)矩形的面积． 解:(１)因为四边形ABCD 是矩形, 所以AC＝BD,OA＝OC,OB＝OD, 所以OA＝OB． 又因为∠BOC＝１２０°, 所以∠AOB＝６０°． 所以△AOB 是等边三角形, 所以OA＝AB＝６． 所以矩形的对角线BD＝AC＝２OA＝２×６＝１２． (２)在Rt△ABC 中,AB＝６,AC＝１２,由勾股定理,得 BC＝ AC２－AB２ ＝ １２２－６２ ＝６３． (３)矩形ABCD 的面积为AB􀅰BC＝６×６３＝３６３． 　　四边形的问题常常要转化为三角形的问题来解 决．因为矩形具有“四个直角”“对角线相等且互相平 分”等性质,所以要把矩形的问题转化为解直角三角 形或等腰(等边)三角形问题来解决． 知识点三　 矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 定义法:有一个 角是直角的平行 四边形是矩形 在▱ABCD 中, 因为∠BAD＝９０°, 所以▱ABCD 是矩形 有三个角是直角 的四边形是矩形 在四边形ABCD 中, 因 为 ∠BAD ＝ ∠ABC ＝ ∠BCD＝９０°, 所以四边形ABCD 是矩形 对角线相等的平 行四边形是矩形 在▱ABCD 中,因为AC＝ BD,所以▱ABCD 是矩形 % 矩形的两条对角线把矩形 分成四个等腰三角形,并且 分成的四个等腰三角形的 面积相等．因此在解决相关 问题时,常常用到等腰三角 形的性质． １０１ 'F (１)在判定矩形时,首先要 分清是在平行四边形基础 上判 定,还 是 在 四 边 形 基 础上 判 定,然 后 根 据 已 知 条件选择方法． (２)用“对角线相等的平行 四边 形 是 矩 形”判 定 一 个 四边 形 是 矩 形,必 须 满 足 的两 个 条 件:① 对 角 线 相 等;②是平行四边形(或对 角线互相平分的四边形)． 也就是说两条对角线相等 的 四 边 形 不 一 定 是 矩 形, 如等腰梯形．  矩形是从“角”的角度上学 习的 一 种 特 殊 平 行 四 边 形,它 的 性 质 和 判 定 方 法 多 体 现 在 角 和 对 角 线 上, 与边关系不大! 图２．５Ｇ３ 【例３】如图２．５Ｇ３,四边形ABCD 的对 角线互相平分,要使它变为矩形,需要 添加的条件是 (　　) A．AB＝CD　　　　　B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 解析:因为四边形 ABCD 的对角线互相平分,所以四边 形ABCD 是平行四边形,所以当AC＝BD,即对角线 相等时,▱ABCD 是矩形,故选 D． 答案:D 图２．５Ｇ４ 【例４】如图２．５Ｇ４所示,BD,BE 分别 是∠ABC 和它的邻补角∠ABP 的 平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,点E, D 为垂足． 求证:四边形AEBD 是矩形． 证明:因为BD,BE 分别是∠ABC,∠ABP 的平分线, 所以∠ABD＋∠ABE＝ １ ２ (∠ABC＋∠ABP)＝９０°, 即∠