2.4 三角形的中位线-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

２．４　三角形的中位线 　知识点一　三角形的中位线 三角形的中位线满足的条件 (１)是一条线段; (２)连接三角形两边中点． 三角形的中位线的符号语言 如图２．４Ｇ１,在△ABC 中,若点D,E,F 分别是BC, AB,AC 的中点,则 DE,DF,EF 是 △ABC 的中 位线． 图２．４Ｇ１ 　　　 图２．４Ｇ３ 【例１】如图２．４Ｇ３,D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 的 中点,则图中是△ABC 中位线的是 (　　) A．线段DE　　　　　　　　B．线段CD C．线段BE D．以上都不是 解析:根据“连接三角形两边中点的线段叫作三角形的 中位线”可知,线段 DE 是△ABC 的中位线,而线段 CD,BE 是△ABC 的中线． 答案:A 　知识点二　三角形的中位线定理 内容 符号语言 图示 三角形的中位线平 行于第三边,并且 等于第三边的一半 因为DE 是△ABC 的 中位 线,所 以 DE ∥ BC,且DE＝ １ ２BC 'F 三角形的中线是三角形顶 点与对边中点的连线,而三 角形的中位线的两个端点 分别是三角形两边的中点． 如图２．４Ｇ２,D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的 中 点,则 AF 是△ABC 的中线,DE 是△ABC 的中位线． 图２．４Ｇ２ ３９ % 三角形的中位线定理反映 了三角形的中位线与第三 边的 双 重 关 系:一 是 位 置 关系,可以证两直线平行; 二是 数 量 关 系,可 以 证 线 段之间的倍分关系．  三角形的三条中位线把原 三角形分成４个全等的小 三角形．因而每个小三角形 的周长为原三角形周长的 １ ２ ,每 个 小 三 角 形 的 面 积 为原三角形面积的 １ ４． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)一个三角形有三条中位线． (２)与三角形的中位线定理有关的“第三边”是指 不参与构成“中位线”的那一边． (３)知道三角形的中位线也就等于知道了三角形 两边的中点． 【例２】如图２．４Ｇ４,在Rt△ABC 中,∠B＝９０°,D,E 分别 是边AB,AC 的中点,DE＝４,AC＝１０,求AB 的长． 图２．４Ｇ４ 解:因为D,E 分别是边AB,AC 的中点, 所以DE 是△ABC 的中位线． 因为DE＝４,所以BC＝８． 在Rt△ABC 中,AC＝１０,BC＝８, 所以AB＝ AC２－BC２ ＝ １０２－８２ ＝６． 三角形的中位线定理的两个结论及四个应用 (１)两个结论: ①中位线与第三边的位置关系———互相平行; ②中位线与第三边的数量关系———中位线等于第三 边的一半． (２)四个应用: ①求线段的长度; ②证明线段相等或平行; ③求角的度数; ④证明线段之间的倍分关系． ４９ 　题型一　应用中位线定理测高求距 图２．４Ｇ５ 【例１】如图２．４Ｇ５,为估计池塘两岸边 A,B 两点间的距离,在池塘的一侧选 取点O,分别取OA,OB 的中点 M, N,测得 MN＝３２m,则A,B 两点间 的距离是 m． 审题关键:三角形中出现两边中点, 可用中位线定理求出第三边的长． 解析:因为 M,N 分别是边OA,OB 的中点, 所以 MN 是△AOB 的中位线． 所以AB＝２MN＝２×３２＝６４(m)． 答案:６４ " 　　三角形中位线的有关知识,常用来解决以测量 距离为背景的题目,解题时常先把实际问题转化为 数学问题,再分两步走:一定(依照三角形的中位线 的定义,确定哪条线段是三角形的中位线);二算 (根据三角形的中位线定理,计算出三角形的第三 边的长)． 　题型二　应用中位线定理进行证明 【例２】如图２．４Ｇ７,已知△ABC 是锐角三角形,分别以 AB,AC 为 边 向 外 侧 作 两 个 等 边 三 角 形 ABM 和 CAN．点D,E,F 分别是MB,BC,CN 的中点,连接 DE,FE． 图２．４Ｇ７ 求证:DE＝EF． １．如 图 ２．４Ｇ６,跷 跷 板 AB 的支柱OD 经过它的中 点O,且垂直于地面BC, 垂 足 为 点 D, OD＝ ５０cm,当它的一端 B 着 地时,另一端A 离地面的 高度AC 为 (　　) 图２．４Ｇ６ A．２５cm