2.3 中心对称和中心对称图形-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

２．３　中心对称和中心对称图形 知识点一　中心对称 中心对称 类别 解释 图示 点的 对称 在平面内,把点E 绕点O 旋转 １８０°,得到点F,则点E 和点F 关于点O 对称,且OE＝OF． 反之,如果点E,O,F 三点共 线,且OE＝OF,那么点 E 和 点F 关于点O 对称 图形的 中心 对称 在平面内,如果一个图形G 绕 点O 旋转１８０°,得到的像与另 一个图形G′重合,那么称这两 个图形关于点O 中心对称,点 O 叫作对称中心 中心对称与轴对称的比较 中心对称 轴对称 对称中心只有一个点 至少有一条对称轴 图形绕对称中心旋转１８０° 图形沿轴对折(翻转１８０°) 旋转１８０°后和另一个图形重合 翻转１８０°后与另一个图 形重合 【例１】如图２．３Ｇ１,△A′B′C′与△ABC 关于点O 成中心 对称,找出图中的对应点、对应线段． 图２．３Ｇ１ 'F 中心对称的三个特征 (１)有一个对称中心; (２)图 形 绕 对 称 中 心 旋 转１８０°; (３)旋 转 前 后 的 两 个 图 形 全等． @ @ 中心对称好判断, 两个图形是关键; 旋转角度１８０°后, 两个图形重合现． 'F (１)中心对称是两个图形之 间的关系,它可以看成是特 殊的 旋 转,其 旋 转 角 度 是 １８０°．在解决中心对称问题 时可借助旋转的一些方法． (２)关于某一点成中心对称 的两个图形,一个图形上所 有的点关于对称中心的对 称点都在另一个图形上． (３)成中心对称的两个图形 只有一个对称中心,且对称 点一定在对称中心的两侧 或与对称中心重合． １８  中心对称的其他性质 (１)具 有 旋 转 的 一 切 性 质 (因为 中 心 对 称 是 一 种 特 殊的旋转)． (２)成 中 心 对 称 的 两 个 图 形是 全 等 图 形,对 应 角 相 等,对应线段平行(或在同 一直线上)且相等． (３)如 果 两 个 图 形 的 所 有 的对应点所连线段都经过 某一 点,并 且 被 这 一 点 平 分,那 么 这 两 个 图 形 关 于 这点中心对称． 解:对应点:A 与A′,B 与B′,C 与C′; 对应线段:AB 与A′B′,BC 与B′C′,AC 与A′C′． 　　关于某点成中心对称的两个图形中,把一个图 形绕对称中心旋转１８０°后,互相重合的点即为对应 点,互相重合的线段即为对应线段． 　知识点二　中心对称的性质 性质 成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中 心,且被对称中心平分． 确定对称中心的方法 (１)连接任意一对对称点,取这条线段的中点,则该点 为对称中心． (２)任意连接两对对称点,这两条线段的交点就是对 称中心． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:常常可以利用中心对称的性质来证明有关 的线段相等、平行及三角形全等的问题． 【例２】如图２．３Ｇ２,已知△ABC 和△EFG 关于点O 成中 心对称． (１)写出图中相等的线段． (２)点A,O,E 三点共线吗? 若共线,还有其他的三点 共线吗? 图２．３Ｇ２ 解:(１)AB＝EF,BC＝FG,AC＝EG,OA＝OE,OC＝ OG,OB＝OF． ２８ (２)因为点A 的对应点为点E, 所以点A 绕点O 旋转１８０°后与点E 重合,∠AOE＝ １８０°, 所以A,O,E 三点共线． 同理,B,O,F 三点共线,C,O,G 三点共线． 中心对称性质的“三个对应” (１)对应线段平行(或在同一条直线上)且相等． (２)对应角相等． (３)对应点的连线被对称中心平分． 　 知识点三　作一个图形关于某一点成中心对称的 图形 【例３】如图２．３Ｇ３所示,已知四边形ABCD 和点O,画 出四边形A′B′C′D′,使四边形A′B′C′D′和四边 形 ABCD 关于点O 中心对称． 图２．３Ｇ３ 　　　　 图２．３Ｇ４ 解答过程 解:(１)点A,B,C,D 为关键点． ↓ (２)如图２．３Ｇ４所示,连接AO 并延长AO 到点A′,使 OA′＝OA,得到点A 的对称点A′．同样画出点B 的对 称点B′,点C 的对称点C′,点D 的对称点D′． ↓ (３)顺次连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,即四边形A′B′C′D′ 就是所求作的四边形． 'F 作已知图形关于某一点 对称的图形 (１)