2.2.2 平行四边形的判定-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

２．２．２　平行四边形的判定 'F (１)“一 组 对 边”满 足 两 个 关系: ①位置关系:平行; ②数量关系:相等． (２)定义既是性质,又是判 定方 法,是 其 他 判 定 方 法 的基 础,它 是 从 平 行 四 边 形两组对边的位置关系来 判定的．定义的双重性在解 决问 题 时 经 常 用 到,注 意 认真体会． 知识点一　根据边的关系判定平行四边形 类别 定理(或定义) 符号语言 图示 一组 对边 一组对边平行 且相等的四边 形 是 平 行 四 边形 因 为 AB 􀱀CD (或 AD 􀱀BC),所 以 四 边形 ABCD 是平行 四边形 两组 对边 两组对边分别 平行的四边形 是平行四边形 因为AB∥CD,AD∥ BC,所 以 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形 两组对边分别 相等的四边形 是平行四边形 因为AB＝CD,AD＝ BC,所 以 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:“平行且相等”用符号“􀱀”表示,读作“平行 且等于”． 图２．２．２Ｇ１ 【例１】如图２．２．２Ｇ１,请在下列四个关 系:①AD ∥BC,②AB ＝CD, ③∠A＝∠C,④∠B＋∠C＝１８０°． 选出其中两个恰当的关系作为条 件,推出四边形ABCD 是平行四边形,并予以证明(写 出两种)． 解:已知①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以． 选择①④时,证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°, 所以AB∥CD． ０７ 又因为AD∥BC,所以四边形ABCD 是平行四边形． 选择③④时,证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°,所以AB∥CD． 又因为∠A＝∠C,所以∠A＋∠B＝１８０°, 所以AD∥BC． 所以四边形ABCD 是平行四边形． 　知识点二　根据对角线的关系判定平行四边形 定理 符号语言 图示 对角线互相平分 的四边形是平行 四边形 因 为 OA ＝ OC, OB＝OD,所以四边 形 ABCD 是平行四 边形 【例２】如图２．２．２Ｇ２,▱ABCD 的对角线相交于点O,直 线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E, F,连接AF,CE．求证:四边形AECF 是平行四边形． 图２．２．２Ｇ２ 证明:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以OD＝OB,OA＝OC． 因为AB∥CD, 所以∠DFO＝∠BEO,∠FDO＝∠EBO, 所以△FDO≌△EBO,所以OF＝OE, 所以四边形AECF 是平行四边形． 知识点三　根据角的关系判定平行四边形 定理 符号语言 图示 两组对角分别相 等的四边形是平 行四边形 因 为 ∠A ＝ ∠C, ∠B＝ ∠D,所 以 四 边形 ABCD 是平行 四边形 % 互相平分是指当一条对角 线平分另一条对角线的同 时,另一条对角线也平分这 一条对角线．若只有一条对 角线平分,而另一条对角线 不平分时不能判定这个四 边形是平行四边形． 'F 平行四边形的判定定理是 从边、角、对角线三个方面 描述的． １７ @ @ 平行四边形判定速记口诀 要证 平 行 四 边 形,两 个 条 件才能行; 一证 对 边 都 相 等,二 证 对 边都平行; 一组 对 边 也 可 以,必 须 相 等且平行; 对角 线 是 个 宝,互 相 平 分 不能少; 对角 相 等 也 有 用,两 组 对 角才能行． 【例３】如图２．２．２Ｇ３,AE,CF 分别是▱ABCD 的内角 ∠DAB,∠BCD 的平分线．求证:四边形 AECF 是平 行四边形． 图２．２．２Ｇ３ 证明:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以∠DAB＝∠BCD,AB∥CD, 所以∠１＝∠３,∠２＝∠４． 又因为∠１＝ １ ２∠DAB ,∠２＝ １ ２∠BCD , 所以∠１＝∠２,所以∠３＝∠４,所以∠５＝∠６, 所以四边形AECF 是平行四边形． １．如图２．２．２Ｇ６,在四边形 ABCD 中,已 知 AB ∥ CD,AB＝CD,E 为AB 上一点,过点E 作EF∥ BC,交CD 于点F,G 为 AD 上一点,H 为BC 上 一点,连接 CG,AH．若 GD＝BH,则 图 中 的 平 行四边形有 (　　) 图２．２．２Ｇ６ A．２个　　　B．３个 C．４个 D．６个 　题型一　平行四边形的判定 【例１】如图２．２．