热点专题08 三角函数的定义，同角三角函数关系及诱导公式-2023-2024学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点专题08三角函数的定义，同角三角函数关系及诱导公式 知识点1 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点2 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 知识点3 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 题型一 利用定义求三角函数值 【例1】在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知角的终边与一次函数的函数图象重合，则的值为 ． 题型二 根据三角函数值求参数 【例3】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 . 【例4】已知为第二象限角，点在其终边上，且，则 ． 【变式2-1】已知角的终边经过点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若300°角的终边所在直线上一点为，则a的值为 ． 【变式2-3】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三 象限的符号问题 【例5】设是三角形的一个内角，下列那些值有可能取负值？ ，，， 【例6】当为第四象限角时，（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式3-1】“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】已知是第二象限角，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）下列函数值符号为正的是（    ） A． B． C． D． 题型四 弦切知一求二 【例7】若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例8】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（1）已知，且为第四象限角，求和的值； （2）已知，求的值； （3）已知，若是第二象限角，求的值． 【变式4-3】已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 题型五 正余弦齐次式的运算 【例9】已知，则 ． 【例10】已知，则＝ . 【变式5-1】已知角的终边经过点， (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 【变式5-2】已知， (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-3】已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型六 与关系应用 【例11】（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例12】已知，则 ，若，则 . 【变式6-1】已知，，求的值． 【变式6-2】已知是关于x的方程的两个根，则 ． 【变式6-3】已知，则 ． 题型七 同角三角函数关系的化简求值 【例13】若，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知是方程的两根，则 . 【变式7-1】已知，若，则= . 【变式7-2】已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）． 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足； 条件③：角满