16.3 可化为一元一次方程的分式方程-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１６．３　可化为一元一次方程的分式方程　　　　 　知识点一　分式方程的概念 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:分式方程和整式方程的区别与联系 (１)区别:分式方程和整式方程的根本区别在于分 母中是否含有未知数．分母中含有未知数的方程是 分式方程,分母中不含未知数的方程是整式方程． (２)联系:分式方程可以转化为整式方程． 【例１】下列方程: ① x ５＝２ ;② ５ x＝２ ;③y＝ ２ ３x ;④ １＋x ５＋x＝ １ ２ ; ⑤y＋１＝ ２ y ;⑥１＋３(x－２)＝７－x;⑦y２－３＝ y ３． 其中,分式方程有 (　　) 　　　　 　　　　　　　　　A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 解析:方程⑥１＋３(x－２)＝７－x 不含分母,不是分式 方程． 方程① x ５＝２ ,③y＝ ２ ３x ,⑦y２－３＝ y ３ 虽然含有分母, 但分母中不含未知数,也不是分式方程． 方程② ５ x＝２ ,④ １＋x ５＋x＝ １ ２ ,⑤y＋１＝ ２ y 符合分式方程 的条件,是分式方程．故分式方程有３个． 答案:C ８２ 　知识点二　分式方程的解法 解分式方程的基本思想和方法 (１)基本思想:将分式方程转化为整式方程． (２)基本方法:去分母,即方程两边同乘以最简公分母． 解分式方程的一般步骤 增根 在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以 一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可能产 生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为 增根． 【例２】解方程:(１)(甘肃天门中考) ３ x＋１＝ x x－１－１ ; (２) １ １－x＝ ２ １－x２． 解:(１)方程两边同乘以(x＋１)(x－１),约去分母,得 ３(x－１)＝x(x＋１)－(x＋１)(x－１), 解得x＝２． 检验:把x＝２代入(x＋１)(x－１),得(x＋１)(x－ １)≠０． 所以原分式方程的解是x＝２． (２)方程两边同乘以(１＋x)(１－x),约去分母,得１＋ x＝２, 解得x＝１． 　 (１)去分母时,分式方程两 边同乘以最简公分母,不含 分母的项不要漏乘． (２)解 分 式 方 程 一 定 要 检 验,增根必须舍去．  产生增根的原因如下:去分 母时,方程两边同乘以的最 简公分母是含有未知数的 式子,这 个 式 子 有 可 能 为 零,对于整式方程来说,求 出的解成立,而对于分式方 程来说,分式可能无意义, 所以这个解可能不是原分 式方程的解． 分式方程验根的方法 (１)代入最简公分母检验: 将所求的整式方程的根代 入最简公分母,看最简公分 母的值是否为０,若值为０, 则未知数的值是原分式方 程的增根,否则就是原分式 方程的根． ９２ (２)代入原分式方程检验: 将所求的整式方程的根代 入原分式方程,使分式方程 的左右两边相等的未知数 的值是分式方程的根,若得 到分母的值为０,则其为分 式方程的增根． 列分式方程解应用题时一 定不要忘记检验．实际问题 中要舍去不符合实际意义 的分式方程的解． 检验:把x＝１代入(１＋x)(１－x),得(１＋x)(１－ x)＝０．　 所以x＝１不是原分式方程的解,原分式方程无解． 知识点三　列分式方程解应用题的一般步骤 【例３】(吉林长春中考)A、B两种型号的机器加工同一种 零件,已知A型机器比B型机器每小时多加工２０个零 件,A型机器加工４００个零件所用时间与 B型机器加 工３００个零件所用时间相同．求 A 型机器每小时加工 零件的个数． １．解方程: (１) １ x－３＋２＝ ４－x ３－x ; 题型一　分式方程的解法 分式方程的常规解法 【例１】解方程:(１)(江苏连云港中考) ２ x－ １ １＋x＝０ ; (２)(贵州黔东南州中考) x＋１ x－１＋ ４ １－x２＝１． ０３ 审题关键:解分式方程的关键是去分母,因此首先要 找出各分式的最简公分母,然后分式两边同乘以最 简公分母,将分式方程化为整式方程求解． 破题思路:(１)最简公分母是x(１＋x)． (２)最简公分母可以选择(x－１)(x＋１),注意求出 解后需要检验． 解:(１)方程两边同乘以x(１＋x),得２＋２x－x＝０, 解得x＝－２． 检验:把x＝－２代入x(１＋