16.2 分式的运算-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１６．２　分式的运算 (１)法 则 中 的a、b、c、d 为 整式; (２)分式的乘法与分数的乘 法类似,可类比分数的乘法 进行计算; (３)运算的结果需要化为最 简分式或整式． 知识点一　分式的乘法 分式乘法法则: 【例１】计算:(１) ３ab ４cd 􀅰２cd ２ ３ab２ ;　(２) x＋１ x２－１ 􀅰３x ２－３x x ． 解:(１) ３ab ４cd 􀅰２cd ２ ３ab２ ＝ ３ab􀅰２cd２ ４cd􀅰３ab２ 　　　↓ 　　 分子与分子 相乘,分母 与分母相乘 ＝ d ２b．→ 约分、化简 (２) x＋１ x２－１ 􀅰３x ２－３x x ＝ x＋１ (x＋１)(x－１) 􀅰３x (x－１) x → 因式 分解 ＝ １ x－１ 􀅰３ (x－１) １ → 约分 ＝ ３(x－１) x－１ → 分式乘法法则 ＝３． 分式乘法的两种类型 (１)若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相 乘,再约去公因式,化为最简分式或整式; (２)若分子、分母中有多项式,先把多项式因式分解, 再看能否约分,最后相乘,并将结果化至最简． 知识点二　分式的除法 分式除法法则: ６１ 【例２】计算:(１) －３ab ２c２ ÷ ３ab２ ４cd ; (２)(x２－２xy＋y２)÷ xy－y２ x＋y ． 解:(１) －３ab ２c２ ÷ ３ab２ ４cd ＝－ ３ab ２c２ 􀅰４cd ３ab２→ 把除式的分子、分母颠 倒位置,与被除式相乘 ＝－ ３ab􀅰４cd ２c２􀅰３ab２→ 分式乘法法则 ＝－ ２d bc．→ 约分、化简 (２)(x２－２xy＋y２)÷ xy－y２ x＋y ＝ x２－２xy＋y２ １ 􀅰 x＋y xy－y２ →分式除法法则 ＝ (x－y)２ １ 􀅰 x＋y y(x－y) →因式分解 ＝ (x－y)２􀅰(x＋y) y(x－y) →分式乘法法则 ＝ x２－y２ y ．→约分、化简 分式乘、除本一家,一变一倒求除法 分式的除法运算抓住“一变一倒”,即变除法为 乘法,把除式的分子、分母颠倒位置．如果除式是整 式,应 先 把 它 的 分 母 看 成 １,再 把 分 子、分 母 颠 倒 位置． 知识点三　分式的乘方 乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方 符号表示 (ab ) n ＝ an bn (b≠０,且n 为正整数) 　 (１)将除法运算转化为乘法 运算,体现了数学中的转化 思想; (２)对于分式乘、除法运算, 如果没有附加条件(如括号 等),那么按从左到右的顺 序进行计算; (３)当分式的分子或分母的 系数是负数时,一般先把符 号提到分式前面． ７１ (１)分式乘方法则 ( a b ) n ＝ an bn 中的a、b可以是单项式, 也可以是多项式; (２)确定分式乘方结果的符 号的方法与有理数乘方相 同,即正的分式的任何次幂 都为正;负的分式的偶次幂 为正,奇次幂为负．  分式积的乘方法则 积的乘方法则适用于分式 积的乘方,即 ( b a × d c ) n ＝ ( b a ) n × ( d c ) n ;也可以把乘方的积 写成积的乘方的形式,即 ( b a ) n × ( d c ) n ＝ ( b a× d c ) n ． (１)法 则 中 的a、b、c、d 可 以 是 单 项 式,也 可 以 是 多 项式; 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)分式乘方是由乘方的意义及分式的乘 法法则推导出来的． (２)计算分式的乘方时,一定要将分式用括号括 起来． (３)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除 法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先因 式分解,化简后再计算． 【例３】计算: (１)( x３ －y２ ) ４;　(２)( a２b －c３ ) ３;　(３)( x－y －z２ ) ３ ． 解:(１)( x３ －y２ ) ４ ＝ (x３)４ (－y２)４ ＝ x１２ y８ ． (２)( a２b －c３ ) ３ ＝ (a２b)３ (－c３)３＝－ a６b３ c９ ． (３)( x－y －z２ ) ３ ＝ (x－y)３ (－z２