第19章 矩形、菱形与正方形 章末整合提升-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①D　②D　③G　④H　⑤I　⑥A　⑦A　⑧A　⑨C　⑩A　􀃊􀁉􀁓B　􀃊􀁉􀁔A 􀃊􀁉􀁕D　􀃊􀁉􀁖A　􀃊􀁉􀁗D　􀃊􀁉􀁘A　􀃊􀁉􀁙F　􀃊􀁉􀁚F　􀃊􀁉􀁛E　􀃊􀁊􀁒E 考点一　矩形的判定和性质 (１)矩形是一种特殊的平行四边形, 因此,证明一个四边形是矩形时,除了可 以用三个直角证明,还可以先判定这个 四边 形 是 平 行 四 边 形,再 证 其 特 殊 性———有一个直角或对角线相等． (２)矩形最明显的性质就是有四个 直角以及对角线相等且互相平分．因此解 决与矩形有关的问题时,常用勾股定理 及直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半等定理来解决． 例１如图１９Ｇ１,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是AB、CD 上的点,AE＝CF,连 ５１２ 结EF、BF,EF 与对角线AC 交于点 O,且BE＝BF,∠BEF＝２∠BAC． 图１９Ｇ１ (１)求证:OE＝OF; (２)若BC＝２３,求AB 的长． 分析:(１)由矩形的性质得到边、角的等量 关系→△OAE≌△OCF→OE＝OF． (２)连结OB,由∠BEF＝２∠BAC 可得 出∠BAC＝３０°,再利用特殊直角三角 形的边 角 关 系 及 勾 股 定 理 求 得 AB 的长． (１)证明:因为四边形ABCD 是矩形, 所以CD∥AB,所以∠FCO＝∠EAO． 在△FCO 与△EAO 中, ∠FOC＝∠EOA, ∠FCO＝∠EAO, CF＝AE, ì î í ï ï ï ï 所以△FCO≌△EAO, 所以OE＝OF． (２)解:如图１９Ｇ２,连结OB． 图１９Ｇ２ 因为BE＝BF,OE＝OF, 所以BO⊥EF． 因为△FCO≌△EAO,所以OC＝OA． 所以OB＝ １ ２AC＝OA． 所以∠BAC＝∠ABO． 因为在Rt△BEO 中,∠BEO＋∠EBO＝ ９０°,∠BEF ＝ ２∠BAC,∠BAC ＝ ∠ABO, 所以 ２∠BAC ＋ ∠BAC ＝９０°,解 得 ∠BAC＝３０°． 因为 BC＝２ ３,所 以 AC ＝２BC ＝ ４３, 所以AB＝ AC２－BC２ ＝６． " 　　把与矩形有关的问题转化为直角 三角形中的问题来解决,这是解决矩 形问题的常用方法． 例２如图１９Ｇ３,在▱ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过点O 的直线与BA、 DC 的延长线分别交于点E、F． 图１９Ｇ３ (１)求证:△AOE≌△COF． (２)连结EC、AF,则EF 与AC 满足什 么条件时,四边形 AECF 是矩形? 请 说明理由． (１)证明:因为四边形 ABCD 是平行四 边形, 所以AO＝CO,AB∥CD． 所以∠AEO＝∠CFO． 又因为∠AOE＝∠COF, 所以△AOE≌△COF． (２)解:当EF＝AC 时,四边形AECF 是 ６１２ 矩形． 理由如下: 由(１)可知△AOE≌△COF, 所以OE＝OF． 又因为AO＝CO, 所以四边形AECF 是平行四边形． 因为EF＝AC,所以四边形AECF 是 矩形．  　　注意解决此题的关键是把判断得 到的结论作为条件来用,看能不能推 导出四边形AECF 是矩形．切忌解题 过程中把四边形 AECF 是矩形作为 条件去推导EF 与AC 满足的条件． 考点二　菱形的判定与性质 (１)菱形也是一种特殊的平行四边 形,因此,证明一个四边形是菱形时,除 了用四边相等,要紧紧抓住平行四边形 这一先决条件,再证明其特殊性———邻 边相等或对角线互相垂直． (２)菱形最主要的性质是四边相等 及对角线互相垂直平分,因此考查菱形 时,经常结合等腰三角形、直角三角形等 特殊三角形的性质进行命题． 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　 图１９Ｇ４ 例３如图１９Ｇ４,在△ABC 中,∠ACB ＝９０°,BC 的垂 直 平 分 线 DF 交 BC 于点D,交 AB 于 点E,点F 在DE 的延 长线上,且 AF＝CE＝ AE．　 (１)求 证:四 边 形 ACEF 是 平 行 四 边形． (２)当∠B 满足什么条件时,四边形 ACEF 是菱形? 请说明理由． 分析:(１)已知 AF＝CE,要 证 四 边 形 ACEF 是平行四边形,则只需找到AC＝ EF 或 AF ∥CE 即 可．由 △AEC ≌ △EAF,可得 AC＝EF 或AF∥CE． (２)由(１)可知四边形ACEF 是平行四 边形,而要进一步证明其为菱形,则只 要证得一组邻边相等即可,即 AC＝ CE．而 CE ＝ １ ２AB ,由 此 转 化 为 证 AC＝ １ ２AB． 又由直角三角形的性质可 知,∠B ＝３０°．至 此,所 需 条 件 均