19.2 菱形-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１９．２　菱　形 (１)菱 形 必 须 满 足 两 个 条 件:①是平行四边形;②有 一组 邻 边 相 等．二 者 缺 一 不可． (２)菱形的定义既是菱形的 性质,也是菱形的基本判定 方法． (３)菱形是特殊的平行四边 形,但平行四边形不一定是 菱形． 生活中的菱形 　知识点一　菱形的概念 示意图 图１９．２Ｇ１ 符号语言 如图 １９．２Ｇ１ 所示,如果四边 形 ABCD 是平行四边形,且 AB＝ AD,那么四边形ABCD 是菱形． 【例１】如图１９．２Ｇ２所示,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的 平分线,DE∥AC,DF∥BC,四边 图１９．２Ｇ２ 形DECF 是菱形吗? 试说明理由． 解:四边形DECF 是菱形．理由如下: 因为DE∥AC,DF∥BC, 所以四边形DECF 是平行四边形． 因为CD 平分∠ACB,所以∠１＝∠２． 因为DF∥BC,所以∠２＝∠３． 所以∠１＝∠３,所以CF＝DF．所以四边形 DECF 是 菱形． 利用定义证菱形,两个步骤要记清 第１步:判定这个四边形是平行四边形; 第２步:找一组邻边证相等． 　知识点二　菱形的性质 对称性 (１)菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线都是 它的对称轴． ４８１ (２)菱形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称 中心． 边 (１)菱形的性质定理１:菱形的四条边都相等． (２)符 号 语 言:如 图 １９．２Ｇ３① 所 示,因 为 四 边 形 ABCD 是菱形,所以AB＝BC＝CD＝DA． ① 　　 ② 图１９．２Ｇ３ 对角线 (１)菱形的性质定理２:菱形的对角线互相垂直． (２)符 号 语 言:如 图 １９．２Ｇ３② 所 示,因 为 四 边 形 ABCD 是菱形,所以AC⊥BD． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)因为菱形的四条边都相等,所以菱形的周 长是边长的４倍． (２)因为菱形的对角线互相垂直平分,所以两条对 角线把菱形分成四个全等的直角三角形．与菱形有 关的许多问题都是从其中一个直角三角形入手解 决的． (３)若菱形有一个内角为６０°,则菱形的较短对角线 可把菱形分割成两个等边三角形． 图１９．２Ｇ５ 【例２】如图 １９．２Ｇ５,在 菱 形 ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O, BD＝１２cm,AC ＝６cm．求 菱 形 ABCD 的周长． 解:因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC⊥BD,AO＝ １ ２AC ,BO＝ １ ２BD． 又因为AC＝６cm,BD＝１２cm, 所以AO＝３cm,BO＝６cm． 　 菱形是特殊的平行四边形, 因此菱形具有平行四边形 的所有性质．  根据菱形的性质定理２与 等腰三角形“三线合一”的 性质,可以得到“菱形的每 条对角线都平分一组对角” 的性质． 利用勾股定理可得菱形的 对角线与边之间的关系,即 菱形边长的平方等于该菱 形对角线长的一半的平方 和．如图１９．２Ｇ４所示,c２＝ ( a ２ ) ２ ＋ ( b ２ ) ２ ． 图１９．２Ｇ４ ５８１  利用对角线的长计算 菱形的面积 菱形的面积＝两条对角线 长的乘积的一半． 推 导 过 程:如 图 １９．２Ｇ６, AC＝a,BD＝b,S菱形ABCD ＝ S△ABC ＋S△ADC ＝ １ ２AC 􀅰 OB＋ １ ２AC 􀅰OD＝ １ ２AC 􀅰 (OB ＋ OD )＝ １ ２AC 􀅰 BD＝ １ ２ab (a、b 分别为菱 形的两条对角线的长)． 在Rt△ABO 中,由勾股定理,得 AB＝ AO２＋BO２ ＝ ３２＋６２ ＝３５(cm)． 所以菱形ABCD 的周长为４AB＝４×３５＝１２５(cm)． 菱形中求边长,勾股定理来帮忙 　　因为菱形的边在其对角线分成的直角三角形中, 所以通常将菱形中求线段长(如边长)的问题转化为 求直角三角形中相关线段的长的问题,从而利用勾股 定理来解答． 　知识点三　菱形的面积 利用平行四边形的面积公式计算 图１９．２Ｇ６ S菱形 ＝底×高． 将菱形分割成三角形计算 如图１９．２Ｇ６所示,因