19.1 矩形-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

第１９章　矩形、菱形与正方形 １９．１　矩　形 (１)矩 形 必 须 满 足 两 个 条 件:①是平行四边形;②有 一个 角 是 直 角．二 者 缺 一 不可． (２)矩形的定义既是矩形的 性质,也是矩形的基本判定 方法． (３)矩形是特殊的平行四边 形,特殊之处是有一个角为 直角． (１)矩形是特殊的平行四边 形,它具有平行四边形的所 有性质． 　知识点一　矩形的概念 示意图 符号语言 如图１９．１Ｇ１所示,如果四边形ABCD 是平行四边形, 且∠A＝９０°,那么四边形ABCD 是矩形． 图１９．１Ｇ１ 【例１】已知在四边形ABCD 中,AD 平行且等于BC．请 添加一个条件,使四边形ABCD 成为矩形,添加的条 件可以是 ．(只填一个即可) 解析:由AD 平行且等于BC 可知,该四边形是平行四边 形．根据矩形的定义,只要添加条件“有一个角是直角” 即可,故填∠A＝９０°或∠B＝９０°或∠C＝９０°或∠D＝ ９０°皆可． 答案:∠A＝９０°(答案不唯一) 　知识点二　矩形的性质 对称性 (１)矩形是轴对称图形．邻边不相等的矩形有两条对称 轴,分别是过每组对边中点的直线． (２)矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称 中心． ８６１ 角 (１)矩形的性质定理１:矩形的四个角都是直角． (２)符号语言:如图１９．１Ｇ２所示,因为四边形ABCD 是矩形,所以∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝９０°． 图１９．１Ｇ２ 图１９．１Ｇ３ 对角线 (１)矩形的性质定理２:矩形的对角线 相等． (２)符号语言:如图１９．１Ｇ３所示,因为 四边形 ABCD 是 矩 形,AC、BD 是 对 角 线,所 以 AC＝BD． 【例２】(四川成都中考)如图１９．１Ｇ５,在矩形ABCD 中, AB＝３,对角线 AC、BD 相交于点O,AE 垂直平分 OB 于点E,则AD 的长为　　　　． 图１９．１Ｇ５ 解析:因为四边形ABCD 是矩形, 所以OB＝OD,OA＝OC,AC＝BD,所以OA＝OB． 因为AE 垂直平分OB,所以AB＝AO． 所以OA＝AB＝OB＝３．所以BD＝２OB＝６． 所以AD＝ BD２－AB２ ＝ ６２－３２ ＝３３． 答案:３３ 　　矩形被每条对角线分成两个直角三角形,被两条 对角线分成四个等腰三角形,因此矩形中的计算问题 可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决． 　 (２)矩形的对角线相等且互 相 平 分,但 不 一 定 互 相 垂直． (３)矩形的两条对角线把矩 形分成四个等腰三角形,且 这四个等腰三角形的面积 相等．当矩形对角线相交所 成的角为１２０°或６０°时,上 述四个等腰三角形中有两 个是等边三角形．  矩形的性质定理的推论 (１)直角三角形斜边上的中 线 等 于 斜 边 的 一 半．如 图 １９．１Ｇ４所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB ＝９０°,D 是 斜 边AB 的中点,所以CD＝ １ ２AB． 图１９．１Ｇ４ (２)如果三角形一边上的中 线等于这条边的一半,那么 这个三角形是直角三角形． 如 图 １９．１Ｇ４ 所 示,在 △ABC 中,D 是 边AB 的 中点,且CD＝ １ ２AB ,所以 ∠ACB＝９０°． ９６１ (１)判定矩形时,首先要分 清是在平行四边形基础上 判定还是在四边形基础上 判定,然后根据已知条件选 择判定方法． (２)用定义判定一个四边形 是矩形必须同时满足两个 条件:①有一个角是直角; ②是平行四边形． (３)用对角线判定一个四边 形是矩形必须满足:①对角 线相 等;② 是 平 行 四 边 形 (或对角线互相平分)．因为 两者缺一不可,所以只有对 角线相等的四边形不一定 是矩形． 　知识点三　矩形的判定 定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形． 角 (１)矩形的判定定理１:有三个角是直角的四边形是 矩形． (２)符号语言:如图１９．１Ｇ６①所示,在四边形 ABCD 中,因为∠A＝∠B＝∠C＝９０°,所以四边形 ABCD 是矩形． ① 　　　 ② 图１９．１Ｇ６ 对角线 (１)矩形的判定定理２:对角线相等的平行四边形是 矩形． (２)符号语言:如图１９．１Ｇ６②所示,在▱ABCD 中,因 为AC＝BD,所以▱ABCD 是矩形． 图１９．１Ｇ７ 【例３】如图１９．１Ｇ７,已知四边形ABCD 的 对角线互相平分,要使它变为矩形,需要 添加的条件是 (　　) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 解析:因为四边形 ABCD 的对角线互相平分,所以四边 形ABCD 是平行四边形．所以当 AC＝BD,即对角线 相等时,▱ABCD 是矩形,故选 D． 答案:D 【例４】如图１９．１Ｇ８所示,BD、BE 分别是∠ABC 与它的 邻补角∠ABP 的平分线,且 AE⊥BE,A