18.2 平行四边形的判定-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１８．２　平行四边形的判定 知识点　平行四边形的判定方法 判定 符号语言 图示 边 两组对边分别平 行的四边形是平 行四边形(定义) 因为AB∥DC,AD∥BC, 所以四边形ABCD 是平行 四边形 两组对边分别相 等的四边形是平 行四边形(判定 定理１) 因为AB＝DC,AD＝BC, 所以四边形ABCD 是平行 四边形 一组对边平行且 相等的四边形是 平行四边形(判 定定理２) 因为 AB ∥DC,且 AB ＝ DC(或AD∥BC,且AD＝ BC),所 以 四 边 形 ABCD 是平行四边形 角 两组对角分别相 等的四边形是平 行四边形(拓展) 因 为 ∠ABC ＝ ∠ADC, ∠BAD＝∠BCD,所以四 边形ABCD 是平行四边形 对 角 线 对角线互相平分 的四边形是平行 四边形(判定定 理３) 因为AO＝CO,BO＝DO, 所以四边形ABCD 是平行 四边形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:平行四边形的判定需要关于边、角、对角线之间 的两个适当条件． 【例】如图１８．２Ｇ１,请在下列四个关系中,选出两个恰当 的关系作为条件,推出四边形ABCD 是平行四边形, 并予以证明(写出一种即可)． 　 (１)平行四边形的性质定理 和判定定理很多都互为逆 定理．在应用时,应注意 区 分,以防混淆． (２)平行四边形的定义也是 平行四边形的判定方法,同 时还是证明其他判定定理 的依据． (３)平行四边形的判定定理 可以从边、角、对角线三个 方面来描述．  一组对边平行,另一组对边 相等的四边形不一定是平 行四边形,有可能是等腰梯 形;一组对边相等,一组对 角相等的四边形也不一定 ５５１ 是平行四边形,如图１８．２Ｇ２ 所示,四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形, △ACD ≌ △AC′D′,则 ∠B ＝ ∠D′, AB ＝ C′D′,但 四 边 形 ABC′D′不是平行四边形． 图１８．２Ｇ２ 图１８．２Ｇ１ 关系:①AD∥BC,②AB＝CD,③∠A＝∠C,④∠B＋ ∠C＝１８０°．　 解:已知①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以． 已知①③,则四边形ABCD 是平行四边形．证明如下: 因为AD∥BC,所以∠A＋∠B＝１８０°,∠C＋∠D＝１８０°． 因为∠A＝∠C,所以∠B＝∠D． 所以四边形ABCD 是平行四边形． 已知①④,则四边形ABCD 是平行四边形．证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°,所以AB∥CD． 又因为AD∥BC,所以四边形ABCD 是平行四边形． 已知②④,则四边形ABCD 是平行四边形．证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°,所以AB∥CD． 又因为AB＝CD,所以四边形ABCD 是平行四边形． 已知③④,则四边形ABCD 是平行四边形．证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°,所以AB∥CD, 所以∠A＋∠D＝１８０°． 又因为∠A＝∠C,所以∠B＝∠D, 所以四边形ABCD 是平行四边形． 平行四边形判定速记口诀 要证平行四边形,两个条件才能行; 一证对边都相等,二证对边都平行; 一组对边也可以,必须相等且平行; 对角线,是个宝,互相平分不能少; 对角相等也有用,两组对角才能行． ６５１ 　题型一　平行四边形的判定 图１８．２Ｇ３ 【例１】如图１８．２Ｇ３,在四边形 ABCD 中,AE ⊥BD,垂 足 为 点 E,CF ⊥ BD,垂足为点 F,AE＝CF,BF＝ DE,求证:四边形 ABCD 是平行四 边形． 审题关键:平行四边形的判定方法很多,仔细观察题 中所给条件,选用合适的判定定理是证明的关键． 破题思路:思路１:通过证明AB＝CD,AD＝CB 证得 结论; 思路２:通过证明AB∥CD,AD∥BC 证得结论; 思路３:通过证明AB＝CD,AB∥CD 证得结论; 思路４:连结另一条对角线AC,交BD 于点O,通过 证明AO＝OC,BO＝OD 证得结论． 证明:方法１:因为BF＝DE, 所以BF－EF＝DE－EF,即 BE＝DF． 因为AE⊥BD,CF⊥BD,所以 ∠AEB＝∠CFD＝９０°． 又因为AE＝CF,所以△ABE≌△CDF, 所以AB＝CD． 因为AE＝CF,∠AED＝∠CFB,DE＝BF, 所以△AED≌△CFB,所以AD＝CB． 所以四边形ABCD 是平行四边形(两组对边