18.1 平行四边形的性质-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

第１８章　平行四边形 １８．１　平行四边形的性质 (１)平行四边形的定义包含 两 层 含 义:① 是 四 边 形; ②两组对边分别平行．若四 边形的一组对边平行,则该 四 边 形 不 一 定 是 平 行 四 边形． (２)因为两组对边分别平行 的四边形是平行四边形,所 以平行四边形的两组对边 分别平行． 　知识点一　平行四边形的定义 示意图 符号表示 如图１８．１Ｇ１,在四边形ABCD 中,若AB∥CD,AD∥ BC,则四边形 ABCD 是平行四边形．平行四边形用 “▱”表示,如平行四边形ABCD 记作▱ABCD． 图１８．１Ｇ１ 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 AD 和AB,AD 和DC,DC 和 BC,BC 和AB,共有四组 对边 AB 和DC,AD 和BC,共有两组 角 邻角 ∠BAD 和∠ADC,∠ADC 和 ∠DCB,∠DCB 和 ∠ABC, ∠ABC 和∠DAB,共有四组 对角 ∠BAD 和∠BCD,∠ADC 和 ∠ABC,共有两组 对角线 AC 和BD,共有两条 ２４１ 【例１】如图１８．１Ｇ２所示,在▱ABCD 中,EF∥AB,GH∥ AD,EF 与GH 相交于点O,图中有多少个平行四边 形? 请把它们表示出来． 图１８．１Ｇ２ 解:图中共有９个平行四边形． 在▱ABCD 中,因为EF∥AB,GH∥AD, 所以EF∥AB∥DC,GH∥AD∥BC． 所以除▱ABCD 外,一个单独的四边形是平行四边形 的有 ▱AGOE,▱GBFO,▱OFCH,▱EOHD,由两 个四边形组成的平行四边形有▱AGHD,▱GBCH, ▱ABFE,▱EFCD． 分类数个数,不重也不漏 数几何图形的个数时,往往带有很大的盲目性, 结果不是多数了就是漏数了．若将几何图形按分类(按 顺序或大小等)计数,就能做到不重不漏． 　知识点二　平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平 行 四 边 形 的 对 边 相等 因为四边形ABCD 是平行四 边形,所以 AD＝BC,AB＝ DC　 角 平 行 四 边 形 的 对 角 相等 因为四边形ABCD 是平行四 边形,所以∠BAD＝∠BCD, ∠ABC＝∠ADC 对 角 线 平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平分 因为四边形ABCD 是平行四 边形,所以OA＝OC＝ １ ２AC , OB＝OD＝ １ ２BD 　 ３４１  (１)若一条直线过平行四边 形两条对角线的交点,则该 直线平分平行四边形的周 长和面积． (２)因为平行四边形的对边 分别平行,所以利用平行线 的性质,还可以得到平行四 边形 的 邻 角 (同 旁 内 角) 互补． (３)平行四边形的对角线可 将平行四边形分为两个全 等的三角形． 平行四边形性质的作用 (１)利用边的性质可以证明 两边平行或两边相等． (２)利用角的性质可以证明 两角相等或两角互补． (３)利用对角线的性质可以 证明线段相等或线段的倍 分关系． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)平行四边形是中心对称图形,对角线的交点 为对称中心． (２)平行四边形的性质从对边、对角和对角线三个方 面揭示了它们之间的数量关系． 图１８．１Ｇ３ 【例２】如图１８．１Ｇ３,已知▱ABCD． (１)若▱ABCD 的周长为３０cm,两邻边 的长度之比为２∶３(AB＜BC),求它的 各边的长． (２)若∠A＋∠C＝１２０°,求平行四边形各角的度数． 解:(１)因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AB＝DC,BC＝AD． 又因为两邻边的长度之比为２∶３(AB＜BC), 所以可设AB＝２xcm,则BC＝３xcm． 依题意,得２x＋３x＋２x＋３x＝３０． 解得x＝３．所以２x＝２×３＝６,３x＝３×３＝９． 所以AB＝DC＝６cm,BC＝AD＝９cm． (２)在▱ABCD 中,∠A＝∠C,∠B＝∠D． 又因为∠A＋∠C＝１２０°,所以∠A＝∠C＝６０°． 因为AB∥CD,所以∠D＝１８０°－∠A＝１８０°－６０°＝ １２０°．　　 所以∠B＝∠D＝１２０°． 图１８．１Ｇ４ 【例３】如图１８．１Ｇ４,在▱ABCD 中,AC 与 BD 相 交 于 点 O,AB ⊥ AC, ∠DA