17.3 一次函数-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１７．３　一次函数 知识点一　一次函数 一次函数的一般形式 正比例函数 对于一次函数y＝kx＋b(k、b是常数,k≠０),当b＝ ０时,一次函数y＝kx(常数k≠０)也叫做正比例函 数,所以说正比例函数是特殊的一次函数．二者的关 系如图１７．３Ｇ１所示． 图１７．３Ｇ１ 【例１】下列函数中,哪些是一次函数? (１)y＝－２x２;　(２)y＝ x＋１ ２ ; (３)y＝３x２－x(３x－２);　(４)x２＋y＝１; (５)y＝－ ３ x． 解:(１)因为x 的次数是２, 所以y＝－２x２ 不是一次函数． (２)因为y＝ x＋１ ２ ＝ １ ２x＋ １ ２ , 所以k＝ １ ２≠０ ,b＝ １ ２ , 　 正比例函数是一次函数,但 一次函数不一定是正比例 函数． 一次函数 正比例函数 ７８ 当自变量的取值范围不受 限制时,一次函数的图象是 一条直线;当自变量的取值 范围受限制时,一次函数的 图象可能是一条射线或一 条线段,也可能是直线上的 部分点． 所以y＝ x＋１ ２ 是一次函数． (３)因为y＝３x２－x(３x－２)＝２x, 所以它是一次函数． (４)将x２＋y＝１整理,得y＝－x２＋１, 因为x 的次数是２, 所以x２＋y＝１不是一次函数． (５)因为y＝－ ３ x 不符合y＝kx＋b(k、b为常数,k≠０) 的形式, 所以它不是一次函数． “三步法”辨别一次函数 知识点二　一次函数的图象　 举例 借助描点法画出一次函数y＝０．５x 和y＝０．５x＋１的图 象如下: 结论 一次函数y＝kx＋b(k≠０)的图象是一条直线,通常也 称为直线y＝kx＋b．特别地,正比例函数是特殊的一次 函数,且正比例函数y＝kx(k≠０)的图象是经过原点 (０,０)的一条直线,直线y＝kx＋b 可以由直线y＝kx 平移得到 ８８ 续表 画法 观察一次函数y＝０．５x 和y＝０．５x＋１的图象,可以得 出一次函数图象的两种画法: (１)两点法:当b≠０时,一般先选取(０,b)和 ( －bk ,０) 两点,再描点连线．有时为了描点方便,也可取横、纵坐 标都是整数的点． (２)平移法:将直线y＝kx 平移|b|个单位,即可得到直 线y＝kx＋b．当b＞０时,向上平移;当b＜０时,向下 平移 【例２】在同一平面直角坐标系内,利用描点法画出一次 函数y＝２x＋１和y＝２x－１的图象,并说出直线y＝ ２x＋１经过怎样的平移可以得到直线y＝２x－１． 解:列表如下: x ０ ０．５ y＝２x＋１ １ ２ y＝２x－１ －１ ０ 描点、连线,即得函数y＝２x＋１和y＝２x－１的图 象,如图１７．３Ｇ２．直线y＝２x＋１向下平移２个单位可 以得到直线y＝２x－１． 图１７．３Ｇ２ 直线平移k不变,b值上加下是减 直线y＝kx＋b 平移时,k 的值不变．向上平移 时,是b加上平移的单位;向下平移时,是b 减去平移 的单位．所以直线的上下平移可简记为“上加下减”． 　  (１)平行于y 轴且与x 轴 交于点(a,０)的 直 线 可 用 x＝a 表示;平行于x 轴且 与y 轴交于点(０,b)的直线 可用y＝b 表示．x 轴可用 y＝０表示,y 轴可用x＝０ 表示． (２)在同一平面内,对于直 线y１＝k１x ＋b１ 与 直 线 y２＝k２x＋b２,当k１＝k２, b１≠b２时,两直线平行;当 k１≠k２时,两直线相交． ９８ (１)k 的大小决定了直线 的倾斜程度,即 k 的值越 大,直线与x 轴相交所成的 锐角 越 大,y 随x 变 化 越 快;k 的值越小,直线与x 轴相交所成的锐角越小,y 随x 变化越慢． (２)由b的取值可以确定直 线y＝kx＋b(k≠０)与y 轴 的交点．当b＞０时,该直线 与y 轴的交点在x 轴上方; 当b＝０时,直线必经过原 点;当b＜０时,该直线与y 轴的交点在x 轴下方． 知识点三　一次函数的性质　 y＝kx＋ b(k≠０) k＞０ k＜０ b＞０ b＝０ b＜０ b＞０ b＝０ b＜０ 图象 经过 象限 第一、二、 三象限 第一、三 象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、 四象限 第二、三、 四象限 性质 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 【例３】已知一次函数y＝(m－３)x＋２m－１中,y 随x 的增大而减小,其图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴 上,求m 的取值范围． 解:由题意,可得 m－３＜０ , ２m－１＞０,{ 解得 m＜３, m＞ １ ２． ì î í ï ï ïï 所以１ ２＜m＜３． 知识点四　用待定系数法求一次函数的 表达式 关键:根据条件确定表达式y＝kx＋b中的系数k和b 的值． 步骤 解题模板　　说明　　　　　　　　示例 【例４】已知某一次函数的图 象经过点A(５,０