17.1 变量与函数-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

第１７章　函数及其图象 １７．１　变量与函数 (１)变量、常量与字母的指 数无关．例如,在y＝x２ 中, 不能说x２、y 是变量,只能 说x、y 是变量． (２)在一个变化过程中,变 量和常量可能不止一个． (３)离开具体的变化过程, 不能抽象地说一个量是常 量还是变量． 　知识点一　常量与变量 概念 理解 变量和常量是相对的,前提是“在某一变化过程中”．当 变化过程改变时,同一个量的“身份”也可能随之改变． 例如,在s＝vt中,当s一定时,v、t为变量,s为常量; 当v一定时,s、t为变量,v为常量． 【例１】分别指出下列关系中的变量和常量: (１)圆的周长公式C＝２πr(C 是周长,r是半径); (２)正多边形的内角和公式α＝(n－２)×１８０°(α 是正 多边形的内角和,n 是正多边形的边数); (３)一种商品的单价为a,购买该商品所付的总金额y 与购买数量x 的关系为y＝ax． 解:(１)２和π是常量,C 与r是变量． (２)－２和１８０°是常量,n 和α是变量． (３)a 是常量,y 与x 是变量． 抓住“变”字辨常量与变量 判断一个量是不是变量,关键是看在某一变化过 程中,这 个 量 的 取 值 是 否 发 生 变 化,即 要 抓 住 一 个 “变”字,不变就是常量,变化就是变量． ４５ 　知识点二　函数的概念 概念 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如 x 和y,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对 应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数 注意 事项 (１)必须是两个变量,不能多,也不能少; (２)一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化; (３)自变量每取一个值,因变量都有唯一确定的值与 它对应,可以是“一对一”或“多对一” 【例２】下列关系中,哪些y 是x 的函数,哪些不是,请说 明理由． (１)长方形的长一定时,其面积y 与宽x; (２)高速公路上匀速行驶的汽车,其行驶的路程y 与 行驶的时间x; (３)|y|＝ x ２ ;(４)y＝|x|;(５)y２＝３x． 分析:根据对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对 应来求解． 解:(１)给定一个长方形的宽,有唯一的面积相对应; (２)给定一个汽车行驶的时间,有唯一的路程相对应; (３)给定一个正数x,有两个y 与之相对应; (４)给定一个数x,有一个y 相对应; (５)给定一个正数x,有两个y 与之对应． 所以(１)(２)(４)中y 是x 的函数,(３)(５)中y 不是x 的函数． y值是否唯一是关键 以等式的形式给出两个变量x、y 之间的关系,要 判断y 是不是x 的函数,关键是看自变量x 每取一个 值时,y 是否都有唯一确定的值与其对应．若有唯一确 定的值,则y 是x 的函数,否则y 就不是x 的函数． 　 理解 函 数 概 念 时,应 抓 住 “一、二、一”．开始的“一”是 指在一个变化过程中,“二” 是指 有 两 个 变 量,最 后 的 “一”是指对于x 的每一个 值,y 都有唯一确定的值与 其对应．  函数不是数,函数的本质是 对应．函数关系就是变量之 间的对应关系,且是一种特 殊的对应关系,一个变量的 数值随着另一个变量数值 的变化而变化． ５５ (１)函数关系式中指明了哪 个 是 自 变 量,哪 个 是 因 变 量．通常等式右边的代数式 中的变量是自变量,等式左 边的一个变量是因变量,如 y＝３x－１中,x 是自变量, y 是因变量． (２)函 数 关 系 式 是 有 顺 序 的．通常y＝x－１表示y 是 x 的函数,而x＝y＋１就表 示x 是y 的函数． 　知识点三　函数的表示方法 函数的三种表示方法及优缺点 表示 方法 定义 优点 缺点 解析 法 用 含 自 变 量 x 的式子表示函数 y 的方法 简单明了,能准确 地反映整个变化过 程中自变量与函数 的关系 求出对应值时,往往 要经 过比较 复 杂 的 计算,而且有些实际 问题 不一定 能 用 函 数关系式表示出来 列表 法 把一系列自变量 x 值与对应的y 值列成一个表格 来表示函数关系 的方法 一目了然,由表中 已有自变量的每一 个值,可以直接得 出相应的y 的值 自变 量的值 不 能 一 一列出,也不容易看 出自 变量与 函 数 之 间的对应关系 图象 法 用图象来表示函 数关系的方法 能直观形象地表示 函数关系 观察 图象只 能 得 到 近似的数值 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 �