第03讲 三角函数的图象与性质讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第03讲 三角函数的图象与性质 【必备知识】 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）“五点法”作图原理： （2）五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 [－1,1] [－1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在上是递增函数， 在 上是递减函数 在上是递增函数，在上是递减函数 在上是递增函数 周期性 最小正周期是 最小正周期是 最小正周期是 对称 性 对称轴是，对称中心是 对称轴是，对称中心是 对称中心是 3、三角函数性质的注意点 （1）正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；无单调递减区间；在整个定义域内不单调． （2）要注意求函数的单调区间时和的符号，尽量化成的形式，避免出现增减区间的混淆. 4、三角函数的对称轴和对称中心 （1）正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心是图象与轴的交点，即函数的零点． （2）函数的对称轴，对称中心处理。（相位整体化归思想） 如：函数的部分 图象如图所示，则的值分别是（ ） A． B． C． D． 5、三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法 6、常用结论 （1）．对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （2）与三角函数的奇偶性相关的结论 ①若为偶函数，则有；若为奇函数，则有 ②若为偶函数，则有；若为奇函数，则有 ③若为奇函数，则有． 考点07　三角函数的定义域 【常见方法】 三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝A tan (ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式． (2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式． 【例07】1、函数的定义域为________． 2、函数的定义域为________． 考点08　三角函数的单调性 角度1　确定三角函数的单调性(单调区间) 【常见方法】求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用复合函数的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． 特别提醒：要注意求函数的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 【例08】1、函数的单调递减区间为________； 2、函数在上的单调减区间为__________． 角度02　利用三角函数的单调性求值域(最值) 【常见方法】求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路 (1)形如的三角函数化为的形式，再求值域(最值)； (2)形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值)； (3)形如的三角函数，可先设t，化为关于的二次函数求值域(最值)．　　 3、函数在区间上的最大值为________． 4、函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________． 5、函数的最大值是________． 角度3　根据三角函数单调性确定参数 【常见方法】已知函数单调性求参数 (1)明确一个不同：“函数在区间上单调”与“函数的单调区间为”两者的含义不同，显然是的子集； (2)抓住两种方法．已知函数在区间上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间上的保号性，由此列不等式求解．　　 6、若在是减函数，则的最大值是(　　) A.　　　　　B. C. D．π 7、若在区间上是增函数，则的取值范围是________． 8、若函数在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则＝________. 考点09 三角函数的周期性、奇偶性及对称性 角度01　三角函数的周期性 【常见方法】1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法； (2)公式法：函数()的最小正周期，函数的最小正周期； (3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 2．有关周期的2个结论 (1)函数的周期均为. (2)函数，的周期均为. 【例9】1、函数的最小正周期为(　　) A.　　　　　　B. C． D． 2、若函数的最小正周期满足，则正整数的值为_______． 3、若是函数R的一个零点，且，则函数的最小正周期为_____