第1部分 第6章 微专题 “隐圆”模型（无答案版）-【智熊中考·1号学员】2024年河南中考数学精讲册

微专题“隐圆”模型 模型一定点定长作圆 续表 依据圆的定义，圆是所有到定点的距离等 DP的最大值 d+r 2r d+r 于定长的点的集合，如图1，若平面内动点B 到定点A的距离AB固定，则动点B的轨迹是 DP的最小值 r-d 0 d-r 以点A为圆心，AB长为半径的圆。 当DP取最大值时，点P为DO 取最值时点 延长线与⊙O的交点；当DP取 P的位置 最小值时，点P为OD延长线或 线段OD与⊙0的交点 图1 图2 图3 生刀小试 如图2，若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A 3.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的 为圆心，AB的长为半径的圆上 最小距离是4cm,最大距离是9cm,则⊙0 在折叠问题中，常利用“定点定长作圆”模型确 的半径是 定动点的运动轨迹.如图3，E是矩形ABCD边 模型三线圆最值 AB的中点，F是边BC上一动点，将∠B沿直线 “线圆最值”即圆周上一动点到平面内一 EF折叠，则折叠后点B的对应点B'在以点E 定直线的距离的最大值或最小值.已知⊙O和 为圆心，EB长为半径的圆上， 直线1，⊙0的半径为r,圆心0到直线1的距离 生刀小试 为d,点P为⊙0上一动点.依据直线和圆的不 1.如图，四边形ABCD,AB=AC=AD,∠CBD 同位置关系可分以下三种情况： 20°，∠BDC=30°，则∠BAD= 直线I和 直线1和 直线1和 位置关系 ⊙0相离 ⊙0相切 ⊙0相交 B 图形展示 2.如图，△ABC中，AB=AC=2,BC=23,D是 △ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC= 点P到直线I d+r 60°，则△DBC面积的最大值为 2r d+r 的距离最大值 点P到直线I d-r 0 r-d 的距离最小值 过点O作直线1的垂线，垂足为D,垂 模型二点圆最值 取最值时点 线OD与⊙0的交点即为点P,DO的 “点圆最值”即平面内一定点到圆周上一 P的位置 延长线与⊙0的交点处取最大值，OD 动点的距离的最大值或最小值.已知平面内一 的延长线与⊙0的交点处取最小值 定点D和⊙0，点P是⊙O上一动点，设OD= d,⊙O的半径为r,根据直径是圆中最长的弦， 生刀小试 可得当D,O,P三点共线时，线段DP有最大 4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=6, (小)值.依据点和圆的不同位置关系可分以下 点E是AB的中点，点F是边AD上的一个 三种情况： 动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到 位置关系 点D在 点D在 点D在 △A'EF,则线段A'C的最小值 ⊙0内 ⊙0上 ⊙0外 图形展示 147 模型四直角对直径 生刀小试 依据90°的圆周角所对的弦 7.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD,CE分别 是直径可作辅助圆.如图，在 是AC与AB边上的高.求证：BC=-2DE. △ABC中，∠C=90°，若AB的长 固定，则点C的运动轨迹为以 AB为直径的⊙O(不含点A,B) 生刀小威 5.如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=5,点P 是矩形ABCD内一点，且满足∠APB=9O°，连接 CP,则线段CP的最小值为 6.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F,E分别以相同的速 度从D,C两点同时出发向C,B 运动（任何一个点到达即停 止)，BF,AE交于点P,连接CP,则线段CP 的最小值为 模型五四点共圆 同一平面内的四个点在同一个圆上，则这 四个点共圆，简称“四点共圆” 1.四点 模型六定弦对定角 共圆 在△ABC中，若AB的长度及其所对的角 大模型： ∠ACB的大小固定，则点C在以AB为定弦的 圆上，其中，我们称AB为“定弦”，∠C为“定 角”.确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况： (1)如图1，当∠ACB是锐角时，点C的运动轨迹 ①∠DBC=∠DACE 为优弧AB(不与点A,B重合)： (同弧所对的圆周 (2)如图2，当∠ACB为直角时，点C的运动轨 角相等)： 迹为⊙O(不与点A,B重合)； 2.四点 ②∠ADE=∠CBE (3)如图3，当∠ACB为钝角时，点C的运动轨迹 共圆的 (圆内接四边形的一个外角等于它 为劣弧AB(不与点A,B重合) 性质 的内对角)： ③△ABP∽△DCP(两三角形三个 内角对应相等) 图1 图2 图3 148