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第三节 大概念整合3 全等三角形与相似三角形
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解:△ABC∽△MEC,△DEF∽△MEC.
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3
1∶2
1∶4
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1.【开放性问题】如图,已知△ABC和△DEF,且点B,C,E,F在同一条直线上,AC与DE交于点M.已知AB=DE,请添加两个条件使得△ABC≌△DEF,并证明.
解:方法一:添加条件:AC=DF,BC=EF;
方法二:添加条件:AC=DF,∠A=∠D;
方法三:添加条件:BC=EF,∠B=∠DEF;
方法四:添加条件:∠A=∠D,∠B=∠DEF;
方法五:添加条件:∠A=∠D,∠ACB=∠DFE.
证明:(答案不唯一)方法一:在△ABC和△DEF中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=DE,,AC=DF,,BC=EF,))
∴△ABC≌△DEF(SSS).
思考:在△ABC≌△DEF的条件下,从图中能找出哪几对相似三角形(相似比不为1)?
【全等模型分析】
平移型
旋转型
共顶点
不共顶点
轴对称型
有公共边
有公共顶点
解题
思路
证明三角形全等的关键:(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等;(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
2.【一题多角度】在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,连接DE.
5或eq \f(16,5)
(1)如图①,若DE∥BC,AB=8,AD=4,AC=6,则AE的长为3,eq \f(DE,BC)的值为eq \f(1,2 ),△ADE与△ABC的周长之比为1∶ 2,面积之比为1 ∶4;
(2)如图②,若∠ADE=∠C,eq \f(AD,AC)=eq \f(2,3),AE=eq \f(16,3),则AB的长为8 ;
(3)如图③,当点E与点C重合时,若∠ACD=∠B,AD=8,BD=6,则AC的长为4 ;
(4)若△ABC与△ADE相似,AB=12,AC=15,AD=4,则AE的长为
;
eq \f(1,2)
4eq \r(7)
(5)如图④,已知AB=BC,BE平分∠ABC,DE⊥AB.求证:BE2=BD·BC.
证明:∵AB=BC,BE平分∠ABC,
∴BE⊥AC,∴∠AEB=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠EDB=90°=∠AEB,
∵∠ABE=∠EBD,
∴△AEB∽△EDB.