第1部分 第4章 三角形 教材文化延伸 三角形的费马点-【木牍教育·名师A计划】2024年中考数学总复习精讲册(教用PPT)

数学 -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 第四章　三角形 教材文化延伸 -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 教材文化延伸 (学用见P84) 三角形的费马点 教材原题呈现 [HK版教材八上P150 A组复习题第12题]已知：如图，在△ABC中，以它的边AB，AC为边，分别在形外作等边三角形ABD，ACE，连接BE，DC.求证：BE＝DC. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 【教材知识拓展】费马点是指位于三角形内，且到三角形三个顶点距离之和最短的点.如图，P为△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，P为△ABC的费马点. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 理由：如图所示，以点A为旋转中心，将△ACP逆时针旋转60°，得△ADE，连接PD，CE，易得△APD和△ACE为等边三角形，∴CP＝DE，AP＝PD，∴AP＋BP＋CP＝BP＋PD＋DE，∴当B，P，D，E四点共线时，AP＋BP＋CP的值最小.此时AP＋BP＋CP＝BE，∠ADE＝∠APC＝∠APB＝120°， ∴当∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，P为△ABC的费马点. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 教材文化延伸 命题方向1 考查定义 1.若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，则PB的值为　 　.  2 -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 【解析】如图所示，∵P是△ABC的费马点， ∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， ∴∠PAB＋∠PBA＝60°.∵∠ABC＝60°，即∠PBA＋∠PBC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，∴△PAB∽△PBC，∴，∴PB2＝PA·PC＝3×4＝12，∴PB＝2. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 命题方向2 求到不共线三点距离之和的最小值 2.两张宽为3 cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示.若∠α＝30°，求对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP'. ∵∠α＝30°，DE＝3 cm， ∴CD＝2DE＝6 cm，同理得BC＝AD＝6 cm. 由旋转的性质，得A'B＝AB＝CD＝6 cm，BP'＝BP，A'P'＝AP，∠P'BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P'BP是等边三角形，∴BP＝PP'， ∴PA＋PB＋PC＝A'P'＋PP'＋PC. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 根据两点间线段最短，可知当PA＋PB＋PC＝A'C时最短. 连接A'C，与BD的交点即为点P，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A'C. ∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A'BA＝60°， ∴∠A'BC＝90°， ∴A'C(cm)， ∴点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6 cm. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 命题方向3 求角度 3.如图，P为正方形ABCD内一点，PB＝1，PC＝2，PD＝3，求∠BPC的度数. -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 解：解法1：如图，将△DCP绕点C逆时针旋转90°得到△BCQ，∴∠PCQ＝∠DCB＝90°，∴△PCQ为等腰直角三角形， ∴∠CPQ＝45°，PQ＝2. 由旋转的性质得BQ＝PD＝3. 在△BPQ中，BP＝1，PQ＝2，BQ＝3， ∴BP2＋PQ2＝BQ2，∴∠BPQ＝90°， ∴∠BPC＝∠BPQ＋∠CPQ＝90°＋45°＝135°. 图1 -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 解法2：如图，过点D作DE⊥PC于点E，过点B作BF⊥CP交CP的延长线于点F. 易证△DCE≌△CBF， ∴DE＝CF，CE＝BF. 设BF＝CE＝x，则PF，PE＝2－x， 由DE＝CF，得，解得x(负值舍去)， ∴PFBF，∴∠FBP＝∠FPB＝45°， ∴∠BPC＝135°. 图2 -‹#›- 教材文化延伸 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 $$