第17章 一元二次方程 章末整合提升-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①D　②C　③J　④A　⑤B　⑥H　⑦G　⑧E　⑨F　􀃊􀁉􀁒L　􀃊􀁉􀁓I　􀃊􀁉􀁔K 考点一　一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法分别为直 接开平方法、配方法、公式法和因式分解 法,有时以单纯考查解法的形式出题,多 以选择题或填空题的形式出现,也可以出 现在简单的解答题中;有时把一元二次方 程的解法作为解答问题的工具,与其他知 识综合,借助其解法来解答其他问题,题 型多以解答题为主． 例１选择适当的方法解下列关于x 的一 元二次方程: (１)(x－２)(x＋３)＝６６; (２)x２－b２＝a(３x－２a＋b)． 解:(１)将原方程化为标准形式,得 x２＋x－７２＝０． 把方程左边分解因式,得 (x＋９)(x－８)＝０． 所以x＋９＝０或x－８＝０． 所以x１＝－９,x２＝８． ４７ (２)将原方程化为标准形式,得 x２－３ax＋２a２－ab－b２＝０． Δ＝(－３a)２－４(２a２－ab－b２)＝(a＋ ２b)２≥０, 所以x＝ ３a±(a＋２b) ２×１ , 所以x１＝２a＋b,x２＝a－b． 4 根据方程特点,选择合适解法 　　一元二次方程有四种解法,其中 直接开平方法和因式分解法适用于解 特殊形式的一元二次方程,直接开平 方法适用于解方程左边是完全平方 式,右边是非负数的方程,因式分解法 适用于解方程左边能因式分解,右边 是０的方程．配方法和公式法适合于 解所有的一元二次方程．值得注意的 是,用公式法和因式分解法解一元二 次方程时,先要把方程化为一般形式． 考点二　一元二次方程根的判别 式及根与系数关系的综合应用 对于一元二次方程ax２＋bx＋c＝０ (a≠０),判别式b２－４ac 的值决定了一 元二次方程根的情况．利用方程根的判别 式可以 不 解 方 程 直 接 判 断 方 程 根 的 情 况,反过来,利用方程根的情况可以确定 方程中待定系数的取值范围．利用一元二 次方程根与系数的关系可以不解方程, 而仅通过系数就反映出方程两根的特征． 例２已知关于x的方程mx２＋２(m＋１)􀅰 x＋m＝０有两个实数根． (１)求m 的取值范围; (２)若方程的两个实数根的平方和为 ６,求m 的值． 分析:(１)因为方程有两个实数根,所以 方程为一元二次方程,故有 m≠０,且 Δ≥０,从而求出m 的取值范围． (２)利用一元二次方程根与系数的关 系,结合已知条件列出方程,求出m 的 值,要注意检验解的合理性． 解:(１)因为方程有两个实数根, 所以有 m≠０, [２(m＋１)]２－４m２≥０,{ 解得m≥－ １ ２ ,且m≠０． 所以 m 的取值范围是m ≥ － １ ２ ,且 m≠０． (２)设方程的两个实数根为x１,x２, 则x１＋x２＝－ ２m＋２ m ,x１x２＝１． 因为x２１＋x２２＝６, 所以(x１＋x２)２－２x１x２＝６, 即 ( － ２m＋２ m ) ２ －２＝６, 解得m１＝１＋ ２,m２＝１－ ２． 又由(１),知m≥－ １ ２ ,且m≠０, 所以m１,m２ 都符合题意． 所以m１＝１＋ ２,m２＝１－ ２． @. 　　本题(１)小题是利用一元二次方 程根的判别式,根据方程根的情况确 定字母的取值范围,容易出现的错误 是忽视方程二次项系数不为０的条 件;(２)小题是利用一元二次方程根与 系数的关系解决问题,容易忽视方程 的根的判别式Δ≥０的条件而导致解 题错误． ５７ 考点三　一元二次方程的实际应用 一元二 次 方 程 的 实 际 应 用 通 常 涉 及增 长 率 问 题、面 积 问 题、数 字 问 题、 销售利润问题等．解题关键是找到问题 的等量关系,并列出方程来解决问题． 例３(湖南永州中考)某种商品的标价为 ４００元/件,经过两次降价后的价格为 ３２４元/件,并 且 两 次 降 价 的 百 分 率 相同． (１)求该种商品每次降价的百分率; (２)若该种商品进价为３００元/件,两次 降价共售出此种商品１００件,为使两次 降价销售的总利润不少于３１２０元．问 第一次降价后至少要售出该种商品多 少件? 分析:(１)设该种商品每次降价的百分率 为x％,根据“两次降价后的售价＝原 价×(１－降价百分率)２”,即可得出关 于x 的一元二次方程,解方程即可得 出结论; (２)设 第 一 次 降 价 后 售 出 该 种 商 品 m 件,则第二次降价后售出该种商品 (１００－m)件,根据“总利润＝第一次 降价后的单件利润×销售数量＋第二 次降价后的单件利润×销售数量”,即 可得出关于 m 的一元一次不等式,解 不等式即可得出结论． 解:(１)设该种商品每次降价的百分率 为x％． 依题意,得４００×(