第16章 二次根式 章末整合提升-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①C　②D　③B　④A　⑤G　⑥F　⑦H　⑧I　⑨E　􀃊􀁉􀁒L　􀃊􀁉􀁓K　􀃊􀁉􀁔G　􀃊􀁉􀁕J 考点一　二次根式有意义的条件 二次根式 a中的被开方数a 可以是 数,也可以是单项式、多项式、分式等代 数式,但必须注意被开方数a≥０．只有 a≥０,二次根式才有意义． 考查二次根式有意义的条件时,经 常综合分式、零次幂的知识一起考查,此 时除了保证被开方数非负外,还要保证 其他代数式有意义． 例１若代数式 １ x＋１－１ ＋(x－２)０ 在实 数范围内 有 意 义,则 x 的 取 值 范 围 是 ． ８２ 解析:要使代数式 １ x＋１－１ ＋(x－２)０ 在实数范围内有意义,则x 应满足条 件 x＋１≥０, x＋１－１≠０, x－２≠０, ì î í ï ï ï ï 所 以 x ≥ －１,且 x≠０,x≠２． 答案:x≥－１,且x≠０,x≠２ F 　　在初中阶段,除去问题的实际意 义和几何意义对字母的取值范围有限 制外,还有下面三种情况需考虑其有 意义的条件:(１)二次根式的被开方数 大于等于０;(２)分式的分母不为０; (３)零次幂和负整数次幂中,０不能为 底数． 考点二　二次根式非负性的应用 二次根式具有双重非负性,即二次 根式是一个非负数,且被开方数也是一 个非负数．若多个非负数的和等于０,则 每一个非负数都为 ０．在化 简 求 值 问 题 中,注意这个隐含条件的使用． 例２已知 x＋y－３＋ ２x－y＋６＝０, 求x,y 的值． 分析:x＋y－３≥０,２x－y＋６≥０,由 两个二次根式和为０,得 x＋y－３＝０, 且 ２x－y＋６＝０． 解:由题意,得 x＋y－３＝０ , ２x－y＋６＝０,{ 　即 x＋y－３＝０, ２x－y＋６＝０．{ 　解得 x＝－１, y＝４．{ " 建立方程(组)解非负数和为０的问题 解答此类问题,先根据二次根式 结果的非负性,结合非负数的性质建 立方程组,通过解方程组求解． 考点三　二次根式的有关运算 二次根式的有关运算,主要指的是 加、减、乘、除、乘方运算以及它们的混合 运算．特别是混合运算,一定要按规定的 顺序进行,即先算乘方,再算乘除,最后 算加减,有括号时,先算括号里面的．适当 地运用运算律和乘法公式可以简化运算． 注意:运算结果中分母含有根式时, 一定要把分母有理化,且化成最简二次 根式． 例３计算: (１) ２ ３－ １ ６ ２４＋ ３ ２ １２ ; (２)(江苏盐城中考)(３－ ７)(３＋ ７)＋ ２(２－ ２); (３)(３１８＋ １ ５ ５０－４ １ ２ ) ÷ ３２ ; (４) １ ６ ( １＋ ６ ２ ) ２ － ( １－ ６ ２ ) ２é ë ê ê ù û ú ú ; (５)(２＋ ３－ ６)(２－ ３＋ ６)． 分析:(１)先化简再合并;(２)运用平方差公 式;(３)先计算括号内的加减运算,再做除 法运算;(４)把 １＋ ６ ２ 和 １－ ６ ２ 看作一个整 体逆用平方差公式计算;(５)先变形转化 ９２ 为(a＋b)(a－b)的形式再计算． 解:(１)原式＝ ６ ３－ １ ３６＋３３＝３３． (２)原式＝３２－(７)２＋２２－(２)２ ＝９－７＋２２－２＝２２． (３)原式＝(９２＋ ２－２２)÷４２ ＝８２÷４２＝２． (４)原式＝ １ ６ ( １＋ ６ ２ ＋ １－ ６ ２ ) ( １＋ ６ ２ － １－ ６ ２ ) ＝ １ ６ ×１× ６ ＝１． (５)原式＝[２＋(３－ ６)][２－(３－ ６)] ＝(２)２－(３－ ６)２ ＝２－(３)２＋２３× ６－(６)２ ＝２－３＋２ １８－６ ＝－７＋６２． 二次根式的运算口诀 混 合 运 算 并 不 难,乘 除 法 则 记 心间． 化为“同类”算加减,一乘二加括 号先． 公 式 用 好 解 难 点,最 后 结 果 化 最简． 考点四　二次根式的化简与求值 二次根式的化简求值问题,如果直 接代入很繁杂,可以先对已知条件或要 求的代数式进行变形,再代入求解． 二次根式的化简求值,有时会与分 式的运算结合考查,为了计算简便,代入 前应将分式的运算进行化简． 例４已知x＝ ５＋２,y＝ ５－２,求 x y ＋ y x 的值． 解:因为x＝ ５＋２,y＝ ５－２, 所以x＋y＝(５＋２)＋(５－２)＝ ２５, xy＝(５＋２)(５－２)＝１, 所以 x y ＋ y x＝ x２＋y２ xy ＝ (x＋y)２－２xy xy ＝ (２５) ２ －２×１ １ ＝１８． 巧配方,整体求解 　　本题直接把x,y 的值代入求值 很麻 烦,可 以 根 据 已 知 条 件 先 求 出 x＋y 和xy,然后采用配方法把要