19.3 矩形、菱形、正方形-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１９．３　矩形、菱形、正方形 １．矩　形 知识点一　矩形的定义 【例１】已知在四边形ABCD 中,AD􀱀BC,请添加一个 条件,使四边形 ABCD 成为矩形,加上的条件可以 是 ． 解析:由AD􀱀BC 可知,四边形ABCD 是平行四边形． 根据矩形的定义,只要加上条件“一个角是直角”即 可,故填∠A＝９０°或∠B＝９０°或∠C＝９０°或∠D＝ ９０°皆可． 答案:∠A＝９０°(答案不唯一) 知识点二　矩形的性质 名称 文字语言 数学语言 图示 性质１ 矩形的四个角 都是直角 因为四边形 ABCD 是 矩 形,所 以 ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝ ∠DAB＝９０° 性质２ 矩形的对角线 相等 因为四边形 ABCD 是 矩形,所以AC＝BD 推论 直角三角形斜 边上的中线等 于斜边的一半 在Rt△ABC中,∠ACB＝ ９０°,因为点D 是斜边AB 的中点,所以CD＝ １ ２AB (１)矩 形 必 须 满 足 两 个 条件: ①是平行四边形,②有一个 角是直角,二者缺一不可． (２)矩形的定义既是矩形的 性质,又是矩形的基本判定 方法． 　 (１)矩形是特殊的平行四边 形,因此矩形具有平行四边 形的所有性质． (２)性质的推论既说明了直 角三角形斜边上的中线与 斜边的数量关系,又得到了 以斜边中线为腰的两个等 腰三角形． ９３１ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:矩形的性质可归纳如下: (１)对边平行且相等;(２)四个角都是直角;(３)对角 线相等且互相平分;(４)它是轴对称图形,对称轴是 两条分别过对边中点的直线． 这些性质是今后证明线段相等、垂直和角相等的重 要依据． 图１９．３．１Ｇ１ 【例２】如图１９．３．１Ｇ１,在矩形ABCD 中,对 角线 AC,BD 相 交 于 点O,∠AOB ＝ ６０°,AB＝６cm． (１)判断△AOB 的形状; (２)求对角线的长． 解:(１)△AOB 是等边三角形．理由如下: 因为四边形ABCD 是矩形,所以AC＝BD,OA＝OC, OB＝OD． 所以OA＝OB． 又因为∠AOB＝６０°,所以△AOB 是等边三角形． (２)由(１)得△AOB 是等边三角形, 所以OA＝AB＝６cm． 所以 BD ＝AC ＝２OA ＝１２cm,即 对 角 线 的 长 为 １２cm． 知识点三　矩形的判定 方法 文字语言 数学语言 图示 定义 有一个角是直 角的平行四边 形是矩形 在▱ABCD 中,因为 ∠ABC ＝９０°,所 以 ▱ABCD 是矩形 定理１ 对角线相等的 平行四边形是 矩形 在▱ABCD 中,因为 AC ＝ BD, 所 以 ▱ABCD 是矩形 ０４１ 续表 方法 文字语言 数学语言 图示 定理２ 三个角是直角 的 四 边 形 是 矩形 在四边形ABCD 中, 因 为 ∠BAD ＝ ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ９０°,所 以 四 边 形 ABCD是矩形 【例３】如图１９．３．１Ｇ２,在△ABC 中,AB＝AC,点D 为 BC 的中点,四边形ABDE 是平行四边形． 求证:四边形ADCE 是矩形． 图１９．３．１Ｇ２ 证明:方法１:因为四边形ABDE 是平行四边形, 所以AE∥BC,AE＝BD． 因为D 为BC 的中点, 所以CD＝BD．所以CD∥AE,CD＝AE． 所以四边形ADCE 是平行四边形． 因为AB＝AC,D 为BC 的中点, 所以AD⊥BC,即∠ADC＝９０°． 所以四边形ADCE 是矩形． 方法２:因为四边形ABDE 是平行四边形, 所以AE∥BC,AE＝BD,AB＝DE． 因为 D 为BC 的中点,所以 CD ＝BD．所以 CD ∥ AE,CD＝AE． 所以四边形ADCE 是平行四边形． 因为AB＝AC,AB＝DE,所以AC＝DE．所以四边形 ADCE 是矩形． 　 (１)用定理１判定一个四边 形是矩形时,必须满足两个 条件: ①是平行四边形;②对角线 相等．也就是说两条对角线 相等的四边形不一定是矩 形,如等腰梯形． (２)因为四边形的内角和是 ３６０°,所以在四边形中有三 个角是直角的前提下,第四 个角也是直角,因此定理２