18.2 勾股定理的逆定理-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１８．２　勾股定理的逆定理 知识点一　勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理的内容 文字语言 符号语言 图示 如果三角形两边的 平方和等于第三边 的平方,那么这个 三 角 形 是 直 角 三 角形 在 △ABC 中,BC ＝a, AC＝b,AB＝c,若a２＋ b２＝c２,则 △ABC 是直 角三角形,且∠C＝９０° 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角 三角形的一般步骤 第１步:比较a,b,c的大小,找出最大边长． 第２步:计算两小边长的平方和,看它是否与最大边 长的平方相等．若相等,则是直角三角形,并且最大边 所对的角是直角;若不相等,则不是直角三角形． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意: 勾股定理与其逆定理的关系 (１)勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关． (２)勾股定理与其逆定理是互逆定理．勾股定理是根 据直角三角形探求边长的关系,体现了由形到数的 转化;勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系 探求三角形的形状,体现了由数到形的转化． 【例１】根据下列条件,判断△ABC 是否为直角三角形． (１)a＝ ２＋１,b＝ ２－１,c＝ ６; (２)a∶b∶c＝１３∶１２∶５． 解:(１)由题意,得最大边长是c＝ ６,且c２＝(６)２＝６． 因为a２＋b２＝(２＋１)２＋(２－１)２＝３＋２２＋３－ ２２＝６, 　 (１)勾股定理的逆定理是判 定直角三角形的依据,它通 过计算三角形三边长的数 量关系来判断一个三角形 是否为直角三角形． (２)a２＋b２ 是否与c２ 相等 需要计算说明,不能一开始 就用a２＋b２＝c２． ３９  当△ABC 的三边长分别是 a,b,c,且c最大时,若a２＋ b２＞c２,则 △ABC 是 锐 角 三角形;若a２＋b２＜c２,则 △ABC 是钝角三角形． 所以c２＝a２＋b２． 所以△ABC 是直角三角形． (２)设a＝１３k(k＞０),则b＝１２k,c＝５k． 显然最大边长是a＝１３k,且a２＝(１３k)２＝１６９k２． 因为b２＋c２＝(１２k)２＋(５k)２＝１６９k２, 所以a２＝b２＋c２． 所以△ABC 是直角三角形． 判断一个三角形是否为直角三角形的方法 方法１(利用定义):若已知条件与角度有关,可运用三 角形的内角和定理求出最大的角,只有当最大的角是 直角时,才是直角三角形． 方法２(利用勾股定理的逆定理):若已知条件与边有 关,可通过计算推出三角形的三边关系,只有当c 是 最大边长,且满足a２＋b２＝c２ 时,才能利用勾股定理 的逆定理得出这个三角形是直角三角形． 知识点二　勾股数 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)勾股数有无数组,常见的勾股数有３,４,５; ５,１２,１３;７,２４,２５;８,１５,１７;９,４０,４１等． (２)勾股数必能成为直角三角形的三条边长,但直 角三角形的三条边长不一定是勾股数． 【例２】下列各组数据中,是勾股数的是 (　　) A．４,６,８　　　　　　　　B．５,１２,１３ C． １ ３ ,１ ４ ,５ １２ D．３n ,４n,５n ４９ 解析: 选项 分析 结论 A 因为４２＋６２＝５２≠８２,所以４,６,８不是勾股数 不是 B 因为５２＋１２２＝１６９＝１３２,且５,１２,１３都是正 整数,所以５,１２,１３是勾股数 是 C 虽然 ( １３ ) ２ ＋ ( １４ ) ２ ＝ ( ５１２) ２ ,但１ ３ ,１ ４ ,５ １２ 都不 是正整数,所以１ ３ ,１ ４ ,５ １２ 不是勾股数 不是 D 虽然(３n)２＋(４n)２＝(５n)２,但没有明