18.1 勾股定理-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

第１８章　勾股定理 １８．１　勾股定理 知识点一　勾股定理 文字语言 符号语言 图示 直角三角形两条 直 角 边 的 平 方 和,等于斜边的 平方 如果直角三角形的两直 角边用a,b 表示,斜边 用c表示,那么勾股定理 可表示为a２＋b２＝c２ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意: 勾股定理公式的变形 一般情况下,用a,b 表示直角边长,用c 表示 斜边长,则a２＋b２＝c２．这个式子可以变形为a２＝ c２－b２,b２＝c２－a２,c＝ a２＋b２,a＝ c２－b２,b＝ c２－a２． 【例１】在 Rt△ABC 中,已知∠C＝９０°,a,b,c 分别是 ∠A,∠B,∠C 的对边． (１)若a＝３,b＝４,则c＝　　　　; (２)若a＝８,c＝１０,则b＝　　　　; (３)若b＝１２,c＝１３,则a＝　　　　; (４)若c＝３４,a∶b＝８∶１５,则a＝　　　,b＝　　　． 解析:(１)因为∠C＝９０°,所以c２＝a２＋b２＝３２＋４２＝ ２５,所以c＝５． (２)因为∠C＝９０°, 所以b２＝c２－a２＝１０２－８２＝(１０＋８)×(１０－８)＝ ３６,所以b＝６． 　 (１)勾股定理反映的是直角 三角形三边之间的特殊数 量关系,已知其中两边长, 可求第三边长． (２)应用勾股定理时,应注 意区分直角边和斜边,标注 字母c的不一定就是斜边． (３)勾股定理在国外被称为 毕达哥拉斯定理． ７７ (１)证明勾股定理时,找面 积相等是关键． (２)组成图形的面积的两种 表示方法:①直接利用面积 公式表示;②间接利用各个 组成部分的面积和表示． (３)因为∠C＝９０°, 所以a２＝c２－b２＝１３２－１２２＝(１３＋１２)×(１３－ １２)＝２５,所以a＝５． (４)设a＝８x(x＞０),则b＝１５x． 因为∠C＝９０°,所以(８x)２＋(１５x)２＝３４２, 解得x＝２(负值舍去)． 所以a＝８×２＝１６,b＝１５×２＝３０． 答案:(１)５　(２)６　(３)５　(４)１６　３０ 知识点二　勾股定理的证明 勾股定理的证明是通过图形的剪拼或图形面积的割 补,用两种方法表示同一图形的面积,通过面积之间的 相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题,达到证明 的目的． 两种常见的证明方法 图示 描述 将四个完全相同的三角形(如图①) 拼成一个如图②所示的正方形,则 S大正方形 ＝(a＋b)２＝c２＋４× １ ２ab ,即 a２＋b２ ＋２ab＝c２ ＋２ab,故 a２ ＋ b２＝c２ 将四个完全相同的三角形(如图①) 拼成一个如图②所示的正方形,则 S大正方形 ＝(a－b)２＋４× １ ２ab＝c ２,即 a２＋b２ －２ab＋２ab＝c２,故 a２ ＋ b２＝c２ 【例２】一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现 了勾股定理的一种新的证明方法．如图１８．１Ｇ１,火柴盒 的一个侧面四边形ABCD 倒下到四边形AB′C′D′的 位置,连接CC′,设AB＝a,BC＝b,AC＝c,请利用四 边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a２＋b２＝c２． ８７ 图１８．１Ｇ１ 证明:因为四边形BCC′D′为直角梯形, 所以S梯形BCC′D′＝ １ ２ (BC＋C′D′)􀅰BD′＝ １ ２ (a＋b)２． 因 为 Rt△ABC ≌ Rt△AB′C′,所 以 ∠BAC ＝ ∠B′AC′,AC＝AC′． 所 以 ∠CAC′＝ ∠CAB′＋ ∠B′AC′＝ ∠CAB′＋ ∠BAC＝９０°． 所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′ ＝ １ ２ab＋ １ ２c ２＋ １ ２ab ＝ab＋ １ ２c ２． 所以 １ ２ (a＋b)２＝ab＋ １ ２c ２． 所以a２＋b２＝c２． 知识点三　勾股定理的应用 应用 条件 勾股定理的应用必须是在直角三角形中,所以要应用 勾股定理,必须先找出直角三角形 应用 类型 (１)已知直角三角形的任意两边长,求第三边的长; (２)已知直角三角形的任意一边长及另两边的关系, 求另两边的长; (３)证明包含线段的平方关系的几何问题; (４)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解