17.3 一元二次方程根的判别式-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１７．３　一元二次方程根的判别式 知识点　一元二次方程根的判别式 根的判别式的概念 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 Δ与０的大小关系 方程实数根的情况 Δ＞０ 有两个不相等的实数根 Δ＝０ 有两个相等的实数根 Δ＜０ 没有实数根 【例】不解方程,判断下列一元二次方程根的情况: (１)x２＋１＝２x;　(２)５(x２＋１)－７x＝０; (３)２x２＋３x－１＝０． 解:(１)原方程可变形为x２－２x＋１＝０． 因为a＝１,b＝－２,c＝１, 所以Δ＝b２－４ac＝(－２)２－４×１×１＝４－４＝０, 所以原方程有两个相等的实数根． (２)原方程可变形为５x２－７x＋５＝０． 因为a＝５,b＝－７,c＝５, 所以Δ＝b２－４ac＝(－７)２－４×５×５＝－５１＜０, 所以原方程没有实数根． (３)因为a＝２,b＝３,c＝－１, 所以Δ＝b２－４ac＝３２－４×２×(－１)＝１７＞０, 所以原方程有两个不相等的实数根． 　 剖析“根的判别式” (１)根的判别式仅适用于一 元二次方程,当无法判断方 程是不是一元二次方程时, 应对方程进行分类讨论． (２)若说一元二次方程有实 数根,则应包括“有两个不相 等的实数根”和“有两个相等 的实数根”两种情况,此时 Δ＝b２－４ac≥０,切 勿 丢 掉 等号． (３)根的情况与判别式的符 号是相互依存的关系,其中 的一个确定了,另一个也就 随之确定,但要注意二次项 的 系 数 a≠０ 这 一 前 提 条件． 一元二次方程根的判别 式的应用 (１)不解方程,直接判断一 元二次方程根的情况． (２)根据一元二次方程根的 情况,确定系数的值或取值 范围． ７４ (３)应用判别式证明方程根 的情况． “判别式”断“根”三步走 第１步:将一元二次方程化为一般形式ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０),确定系数a,b,c的值,注意a,b,c的值要包 含它前面的符号; 第２步:计算 Δ＝b２－４ac的值; 第３步:根据 Δ与０的大小关系判断方程根的情况． １．下列方程中,没有实数根 的是 (　　) A．x２－４x－４＝０ B．x２－２x＋５＝０ C．x２－２x＝０ D．x２－２x－３＝０ ２．(湖北荆州中考)定义新 运算“a∗b”:对于任意实 数a,b,都 有 a ∗b＝ (a＋b)(a－b)－１,其中 等式右边是通常的加法、 减法、乘法运算,例 ４∗ ３＝(４＋３)(４－３)－１＝ ７－１＝６．若x∗k＝x(k 为实 数)是 关 于x 的 方 程,则它的根的情况为 (　　) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有 两 个 不 相 等 的 实 数根 D．没有实数根 题型一　不解方程,判断方程根的情况 【例１】已知一次函数y＝abx,且当x＞０时,y 随x 的增 大而增大,则关于x 的方程ax２－２x－b＝０的根的情 况是 (　　) A．有两个不相等的实数根　　 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 审题关键:本题首先要通过已知判断方程是否为关于 x 的一元二次方程,再计算一元二次方程根的判别 式,最后根据Δ与０的大小关系确定一元二次方程 根的情况． 解析:因为对于一次函数y＝abx,当x＞０时,y 随x 的增大而增大,所以ab＞０,所以a≠０,所以ax２－ ２x－b＝０是关于x 的一元二次方程,所以 Δ＝４＋ ４ab＞０,所以方程有两个不相等的实数根．故选 A． 答案:A ?  应用判别式的两点注意 (１)判别式只适用于一元二次方程,不适用于其他 方程． (２)注意隐含条件,即一元二次方程的二次项系数 不为零． ８４ 题型二　根据根的判别式确定一元二 次方程字母系数的取值(或取值范围) 【例２】已知关于x的一元二次方程(k－１)x２－(k－１)􀅰 x＋ １ ４＝０ 有两个相等的实数根,求k的值． 审题关键:解决此类问题的关键是把字母看成已知常 数,利用一元二次方程根的情况得到方程中各系数 之间的关系式,同时注意二次项系数a≠０这一限 制条件． 破题思路:(k－１)x ２－(k－１)x＋ １ ４＝０ 有两个相等的实数根 → Δ＝０,k－１≠０ →k的值 解:因为方程有两个相等的实数根, 所以 Δ＝[－(k－１)]２－４×(k－１)× １ ４＝k ２－ ３k＋２＝０,❶ 解得k１＝１,k２＝２． 因为k－１≠０,所以k≠１,所以k＝２． 过程释疑: 　❶利用方程根的情况得到关于字母k 的一个一元 二次方程． 【例３】若关于x 的一元二次方程mx２－４x＋４＝０与 x２－４mx＋４m２－４m－５＝０的根都是整数,求整数 m 的值． 审题关键:一元二次方程有实数根,其根的判别式 Δ 应大于或等于０． 破题思路:先根据一元二次方程有实数根,结合根的 判别式确定m 的取值范围