17.2 一元二次方程的解法-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１７．２　一元二次方程的解法 (１)在开平方时,要注意a 是非负数．若a＜０,则方程 无实数根． (２)用此方法解一元二次方 程的结果中,若含有二次根 式,则 要 化 为 最 简 二 次 根式． (３)有些方程看似不能直接 开平方求解,但是通过变形 可 以 转 化 为 形 如 x２ ＝ a(a≥０)的一元二次方程． 例如,方程１６x２－２５＝０可 以变形为x２＝ ２５ １６． 知识点一　直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程 适用类型 形如x２＝a(a≥０)的一元二次方程 理论依据 平方根的意义 语言描述 利用平方根的意义直接开平方解一元二次方程的 方法 基本思路 通过“降次”,将一个一元二次方程转化为两个一 元一次方程 方程x２＝a的根的情况 a 的取值 方程x２＝a 的根的情况 a＞０ 有两个不相等的实数根x１＝－ a,x２＝ a a＝０ 有两个相等的实数根x１＝x２＝０ a＜０ 没有实数根 【例１】用直接开平方法解下列方程: (１)x２－４＝０;　　　　　(２)３x２－２７＝０; (３)(x－１)２＝９; (４)(２x－３)２＝１６． 解:(１)移项,得x２＝４． 根据平方根的意义,得x＝±２,即x１＝２,x２＝－２． (２)移项,得３x２＝２７． 二次项系数化为１,得x２＝９． 根据平方根的意义,得x＝±３,即x１＝３,x２＝－３． (３)根据平方根的意义,得x－１＝±３,即x１＝４,x２＝－２． (４)根据平方根的意义,得２x－３＝±４,解得x１＝ ７ ２ , x２＝－ １ ２． ８３ 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 第１步:移项,即将方程化为仅左边含有未知数的完 全平方式; 第２步:开平方,即若右边是非负数(若为负数,则方 程无实数根),则根据平方根的意义求解,注意右边 开方后必须取正、负两个平方根; 第３步:写出一元二次方程的两个根． 知识点二　配方法 适用类型 所有的一元二次方程 理论依据 完全平方式 语言描述 先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式 后,再直接开平方求解的方法 步骤 第１步:化,即把方程化为一元二次方程的一般形 式,且使二次项系数为１; 第２步:移,即使方程左边是二次项和一次项,右 边是常数项; 第３步:配,即方程两边同时加上一次项系数一半 的平方; 第４步:开,即当方程的右边是非负数时,用直接开平 方法解方程; 第５步:写,即写出一元二次方程的两个根 【例２】用配方法解下列方程: (１)x２＋x－２＝０;　(２)３x２－１＝－４x． 解:(１)移项,得x２＋x＝２． 配方,得x２＋x＋ １ ４＝２＋ １ ４ ,即 (x＋ １ ２) ２ ＝ ９ ４． 开平方,得x＋ １ ２＝± ３ ２ ,即x＋ １ ２＝ ３ ２ 或x＋ １ ２＝ － ３ ２． 所以x１＝１,x２＝－２． 　 " 灵活运用整体思想,开方降 次转化求解 对形如(mx＋n)２＝p(m≠ ０,p≥０)的关于x 的一元 二次方程,运用整体思想, 把mx＋n看成一个整体,直 接开平方降次,得mx＋n＝ ± p,即x＝ －n± p m ．  任何一个关于x 的一元二 次 方 程 ax２ ＋bx＋c ＝ ０(a≠０)都 可 以 用 配 方 法 转 化 成 ( x ＋ b ２a ) ２ ＝ b２－４ac ４a２ 的形式,但只有当 b２－４ac≥０ 时,才 能 求 得 实数解,否则原方程无解． 配方时易出现的错误 (１)移项忘记变号． (２)系数化为１时漏项． (３)方程两边没有同时加上 一次项系数一半的平方． ９３ 探索“求根公式” (１)求根公式也称为“万能 公式”,它适用于所有有实 数根的一元二次方程． (２)由求根公式可知,一元 二次方程ax２＋bx＋c＝０ (a≠０)的根由方程的系数 a,b和常数项c决定． “公式法”的三点注意 (１)使用公式法时,必须先 把方程化为一般形式,再确 定系数． (２)确定a,b,c 的值时,要 注意符号,不要遗漏“－”． (３)利用公式法解方程时, 要先计算b２－４ac的值,只 有当b２－４ac≥０ 时,才 能 使用求根公式求方程的根． (２)移项,得３x２＋４x＝１． 方程两边都除以３,得x２＋ ４ ３x＝ １ ３． 配方,得x２＋ ４ ３x＋( ２ ３) ２ ＝ １ ３＋( ２ ３) ２,即(x＋ ２ ３) ２ ＝ ７ ９． 开平方,得x＋ ２ ３＝± ７ ３． 所以x１＝ －２＋ ７ ３ ,x２＝ －２－ ７ ３ ． 知识点三　公式法 求根公式 一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０),即x２＋ b ax＋ c a＝０ 　　　　　　　　　　　　 ⇓ 用 配 方 法 推 导 x２＋ b ax 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋＋ ( b２a) ２