17.1 一元二次方程-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

第１７章　一元二次方程 １７．１　一元二次方程 知识点一　一元二次方程的概念 　一元二次方程应同时满足以下三个条件: 　(１)方程是整式方程; 　(２)只含有一个未知数; 　(３)未知数的最高次数是２． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:判断一个方程是否为一元二次方程,上述三 个条件缺一不可．例如, １ x－x ２＝１含有分式,不是 一元二次方程;xy－x２＝０含有两个未知数,不是 一元二次方程;x３－x２－２＝０未知数的最高次数 是３,不是一元二次方程． 【例１】判断下列方程中,哪些是关于x 的一元二次 方程? (１)x＋３＝ ５ x ;　(２)x２－３y＋４＝０; (３) １ x２＋x ２＝９;　(４)x(x－５)＝x２＋８x; (５)ax２－３x＋１＝０;　(６)５x２－３x＝－１． 解:(１)分母有未知数,不是一元二次方程． (２)有两个未知数,不是一元二次方程． (３)分母有未知数,不是一元二次方程． (４)方程化简整理后为１３x＝０,未知数的最高次数是 １,不是一元二次方程． (５)若二次项的系数a 为０,则不是一元二次方程． (６)是一元二次方程． 　 判断一个方程是否是一元 二次方程,应以化简后的结 果为准．例如,(x＋１)(x－ １)＝x２ ＋２x,化 简 后 为 ２x＋１＝０,是 一 元 一 次 方 程,不是一元二次方程． 这里“关于x”的意义是字 母x 是 未 知 数,其 他 字 母 都是已知数． １３ 换了“马夹”也得认识 将一元二次方程的系数b 或c 取“０”,一元二次方程 的一般形式可以变化出一 些特殊形式,要认得它们: ①b＝０,c＝０→ax２＝０; ②b＝０,c≠０→ax２ ＋ c＝０; ③b≠０,c＝０→ax２ ＋ bx＝０． 特别注意大前提:a≠０! “火眼金睛”辨一元二次方程 　　判断一个方程是否为一元二次方程,要紧扣概念,不 能只看表面形式,要先把方程进行整理,使右边为０,再观 察其是否具备以下三个条件: ①是整式方程; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是２． 三个条件缺一不可! 知识点二　一元二次方程的一般形式(标准形式) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)一元二次方程的一般形式的左边是关 于未知数x 的二次整式,右边是０;“a≠０”是一 般形式的重要组成部分． (２)若明确指出方程ax２＋bx＋c＝０是一元二次 方程,则隐含了a≠０． (３)一元二次方程ax２＋bx＋c＝０没有对b,c作 限制． 【例２】将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (１)x(x－２)＝４x２－３x;　(２) x２ ３－ x＋１ ２ ＝ －x－１ ２ ． 解:(１)去括号,得x２－２x＝４x２－３x． 移项,合并同类项,得－３x２＋x＝０． 其中二次项系数为－３,一次项系数为１,常数项为０． (２)去分母,得２x２－３(x＋１)＝３(－x－１)． 去括号,移项,合并同类项,得２x２＝０． 其中二次项系数为２,一次项系数为０,常数项为０． ２３ 一元二次方程不可忽视的“小细节” (１)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常 数项时,首先要将方程化为一般形式． (２)指出一元二次方程的各项或各项系数时,要带上 前面的符号,尤其是当系数是负数时,一定不能漏掉 “－”! (３)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或 常数项为０． 知识点三　一元二次方程的根 一元二次方程的