16.2 二次根式的运算-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１６．２　二次根式的运算 知识点一　二次根式的乘法 　二次根式的性质３ 数学语言 如果a≥０,b≥０,那么有 a􀅰 b＝ ab 文字语言 二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变 示例 由等式对称性,性质３也可以写成 ab＝ a 􀅰 b (a≥０,b≥０)． 【例１】计算: (１)１８× ２;　　　(２)３２×(－２３); (３)１６×３６; (４)－ ３× (－１６)×(－３６)． 解:(１)１８× ２＝ １８×２＝ ３６＝６． (２)３２×(－２ ３)＝[３×(－２)]× ２×３＝－６６． (３)１６×３６＝ １６× ３６＝４×６＝２４． (４)－ ３× (－１６)×(－３６)＝ － ３× １６×３６＝ － ３× １６× ３６＝－２４３． 二次根式相乘有“原则” (１)二次根式相乘时,把被开方数和各个根号外面 的系数分别相乘,将系数的积作为积的系数,把被 开方数相乘的积作为积的被开方数． (２)二次根式相乘,被开方数的积中有开得尽方的 因数或因式时,一定要开方． (３)有理数中的运算律、运算法则在二次根式的乘 法中仍然适用． 　 (１)性 质 ３ 中 的 被 开 方 数 a,b可以是数,也可以是代 数式,但都必须满足a≥０, b≥０． (２)当 a与b可以化简时, 一般是先化简再相乘,但对 a,b 相乘可以约分或乘积 为完全平方数的情况就要 先相乘再化简． (３)结果一定要化简．  (１)a 􀅰 b 􀅰 c＝ abc (a≥０,b≥０,c≥０); (２) x􀅰y􀅰z ＝ x 􀅰 y􀅰 z(x≥０,y≥０,z≥ ０)． １１ 性质４中的被开方数a,b 可以 是 数,也 可 以 是 代 数 式,但 都 必 须 满 足a≥０, b＞０． (１)如 果 被 开 方 数 是 带 分 数,应先将其化成假分数, 如 ４ １ ４ 必须先化成 １７ ４ , 以 免 出 现 ４ １ ４ ＝ ４ × １ ４ 这样的错误． (２)在二次根式的计算中, 最后结果应不含能开得尽 方的因数或因式,同时分母 中不含二次根式． (３)若a＜０,b＜０,则化简 b a 时,被开方数的两个因 数(因 式)要 加 上 负 号,即 b a ＝ －b －a ． 知识点二　二次根式的除法 　二次根式的性质４ 数学语言 如果a≥０,b＞０,那么有 a b ＝ a b 文字语言 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数 不变 　由等式的对称性,性质４也可以写成 a b ＝ a b (a≥ ０,b＞０)． 【例２】计算: (１) ５６ ２７ ;　　　(２) － ０．４５ － ０．５ ; (３)－ ２ １ ５÷ ４ １ １１． 解:(１) ５６ ２７ ＝ １ ２ ５６ ７ ＝ １ ２ ８＝ ２． (２) － ０．４５ － ０．５ ＝ ０．４５ ０．５ ＝ ９ １０＝ ３１０ １０ ． (３)－ ２ １ ５ ÷ ４ １ １１＝－ １１ ５ ÷ ４５ １１＝－ １１ ５÷ ４５ １１＝ － １１ １５． (１)两个二次根式相除,可采用根号前的系数与系 数对应相除,根号内的被开方数与被开方数对应相 除,再把 除 得 的 结 果 相 乘,即(m a)÷(n b)＝ (m÷n)×(a÷ b),其中a≥０,b＞０,n≠０． (２)被开方数相除时,可以用法则“除以一个不等于 ０的数等于乘以这个数的倒数”进行约分,再利用 二次根式的乘法法则得出最终结果． ２１ 【例３】化简: (１)１ ３２ ４９ ;　(２) ０．０９×１２１ ０．３６×１００ ;　(３) ８１×１２５ １４４ ． 解:(１)１ ３２ ４９＝ ８１ ４９＝ ８１ ４９ ＝ ９ ７． (２) ０．０９×１２１ ０．３６×１００ ＝ ０．３２×１１２ ０．６２×１０２ ＝ ０．３２×１１２ ０．６２×１０２ ＝ ０．３×１１ ０．６×１０＝ １１ ２０． (３) ８１×１２５ １４４ ＝ ８１×１２５ １４４ ＝ ８１× １２５ １４４ ＝ ９×５５ １２ ＝ １５５ ４ ． 知识点三　最简二次根式 分母有理化 分母中含有根号 分式的基本性质 化去分母中的根号→分母有理化 最简二次根式 最简二次根式需满足的两个条件: (１)被开方数的因数是整数,因式是整式 (２)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈