第一章 4 角平分线-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

第一章　三角形的证明 ３７　 ４　角平分线 􀅰能够证明角平分线的性质定理、判定定理及其相关结论,并进一步发展推理证 明意识． 􀅰了解三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等． 􀅰能运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关的实际问题． 知识点一　角平分线的性质定理 文字语言 符号语言 图示 角平分 线上 的 点到这 个角 的 两 边 的 距 离 相等 因为OC 是∠AOB 的平分 线,点 P 在OC 上,PD⊥ OA,PE⊥OB,垂足分别为 D,E,所以PD＝PE 【例１】(湖南长沙中考)如图,在△ABC 中,∠C＝９０°, AD 平分∠BAC 交BC 于点D,DE⊥AB,垂足为E, 若BC＝４,DE＝１．６,则BD 的长为　　　　． 解析 因 为 AD 平 分 ∠BAC,DE⊥AB,∠C＝９０°, DE＝１．６,所以CD＝DE＝１．６． 因为BC＝４, 所以BD＝BC－CD＝４－１．６＝２．４． 答案２．４ (１)角平分线的性质定理 是由 三 个 条 件 (一 条 角 平 分 线,两条垂线段)得到一个结 论(线段相等)．定理中的点一 定在角平分线上,且点到角的 两边的距离是指点到角的两 边垂线段的长度,不要误认为 角平分线上的点与角两边上 的任 意 一 点 连 线 的 长 度 都 相等． (２)角平分线的性质定理 可以作为证明两条线段相等 的依据． 数学　八年级　下册 ３８　 (１)不可忽视“在一个 角的内部”这一条件,因为 在角的外部也存在到角的 两边距离相等的点． (２)角平分线的性质 定理 和 判 定 定 理 是 互 逆 的,在 应 用 时,一 定 要 分 清各 自 的 使 用 条 件 及 得 到的结论． 证明角平分线的方法 只需从要证的线 上 的 某 一点向角的两边作垂线段,再 证明垂线段相等即可．这样把 证“某线是角平分线”的问题 转化为证“垂线段相等”的问 题,体现了转化思想． 知识点二　角平分线的判定定理 文字语言 符号语言 图示 在一个角的内部, 到角的两边距离相 等的点在这个角的 平分线上 因为点P 是∠AOB 内一 点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别 为 D,E,且 PD＝PE,所 以 点 P 在 ∠AOB 的平分线上  
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    【例３】如图,△ABC 的角平分线 AD,BE 交于点F,点F 到边BC 的距离为２cm,那么点 F 到边 AC 的距离为　　　　cm． 解析 由题意可知,点F 为∠BAC 与∠ABC 的平分 线的交点,由三角形的三条角平分线交于一点可知, 若连接CF(图略),则CF 是∠ACB 的平分线．根据 角平分线的性质可知,点F 到AC 边的距离与点F 到BC 边的距离相等． 答案２ (１)三角形中三条角 平分