第一章 3 线段的垂直平分线-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

数学　八年级　下册 ２６　 ３　线段的垂直平分线 􀅰能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理,并能运用它们进行证明和 计算． 􀅰理解三角形三条边的垂直平分线的性质定理,并能运用它解决相关问题． 􀅰已知底边及底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;能用尺规过一点作已知直 线的垂线． 遇到垂直平分线,就 应考 虑 到 两 组 相 等 的 线 段:一组是垂直平分线的 垂足 把 线 段 分 成 两 条 相 等的线段;另一组是线段 垂直 平 分 线 上 任 意 一 点 与线 段 两 端 相 连 的 线 段 相等． 知识点一　线段垂直平分线的性质定理 文字语言 符号语言 图示 线段垂直平分线上 的点到这条线段两 个端点的距离相等 因 为 MN ⊥ AB, AO＝BO,点 P 在 直线 MN 上,所以 PA＝PB 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:线段垂直平分线的性质定理为证明两条线段 相等提供了一个重要的理论依据．在证明线段相等 时,有时不必再证明两个三角形全等,可直接运用该 定理得到线段相等的结论． 【例１】(江苏淮安中考)如图,在△ABC 中,AB 的垂直 平分线分别交AB,BC 于点D,E,连接AE,若AE＝ ４,EC＝２,则BC 的长是 (　　) A．２　　　　B．４　　　　C．６　　　　D．８ 第一章　三角形的证明 ２７　 解析 因为DE 是线段AB 的垂直平分线,AE＝４, 所以BE＝AE＝４, 所以BC＝BE＋EC＝４＋２＝６． 答案 C 知识点二　线段垂直平分线的判定定理 文字语言 符号语言 图示 到一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上 因为PA＝PB,所 以点P 在线段AB 的垂直平分线OP 上 【例２】如图,在△ABC 中,D 为BC 上 一点,连 接 AD,点 E 在 AD 上, ∠１＝∠２,∠３＝∠４．求证:AD 垂直 平分BC． 证明 因为∠１＝∠２,所以BE＝CE (等角对等边),即点E 在线段BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上)． 又因为∠３＝∠４, 所以∠１＋∠３＝∠２＋∠４,即∠ABC＝∠ACB, 所以AB＝AC,即点A 在线段BC 的垂直平分线上, 所以AD 垂直平分BC(两点确定一条直线)． 知识点三　三角形三边的垂直平分线的性质 文字语言 符号语言 图示 三 角 形 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于一点,并且这一 点 到 三 个 顶 点 的 距离相等 因 为 直 线 MN, EF,PQ 分别垂直 平分BC,AB,AC, 所 以 直 线 MN, EF,PQ 相交于点 O,且 OA ＝OB ＝ OC  线段的垂直平 分 线 可 以 看成是到线段的两端点距离 相等的所有点的集合． 此定理是判定 点 在 直 线 上、直 线 经 过 某 点 的 重 要 依 据,也是求作线段的中点及线 段垂直平分线的依据． 证明一条直线是线段的 垂直平分线的方法 因为两点确定一条直线, 所以要证明一条直线是某条 线段的垂直平分线,只需证明 这条直线上的不相同的两点 到这条线段的两个端点的距 离分别相等． 数学　八年级　下册 ２８　 (１)三角形三条边的 垂直平分线不但相交,而 且只交于一点,该交点到 三角 形 三 个 顶 点 的 距 离 相等． (２)该性质给出了证 明“三线共点”的方法,其 证明思路是:先作出其中 两条边的垂直平分线,它 们相交于一点,再证明该 交点 在 第 三 条 边 的 垂 直 平分线上即可． 知识图解 不同类型的三角形三边的垂直平分线交点位置情况 类别 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 交点 情况 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 三 角形内部 三条边的垂直平 分线交于三角形 斜边中点处 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 三 角 形 外部 【例３】由A,B,C 三个居民小区的 位置所形成的三角形如图所示, 现决定在三个小区之间修建一个 购物超市,使超市到三个小区的 距离相等,则超市应建在 (　　) A．AC,BC 两边上的高线的交点处 B．AC,BC 两边上的中线的交点处 C．AC,BC 两边的垂直平分线的交点处 D．以上三项都符合要求 解析 要使购物超市到三个小区的距离相等,我们可 以看成是找一个点,这个点到以三个小区为顶点的三 角形的各顶点的距离相等,因此这个点必在三角形三 边的垂直平分线上,即在任