第一章 2 直角三角形-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

第一章　三角形的证明 １５　 ２　直角三角形 􀅰掌握直角三角形两锐角互余的性质,并能根据两锐角互余判定一个三角形是 直角三角形． 􀅰理解直角三角形的勾股定理和逆定理,并能应用定理解决与直角三角形有关 的问题． 􀅰结合具体例子了解互逆命题与互逆定理,并知道原命题成立其逆命题不一定 成立． 􀅰探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理． 知识点一　直角三角形的性质定理和判定定理 名称 文字语言 符号语言 图示 性质 定理 直角三角形的 两个锐角互余 在Rt△ABC 中,如果 ∠C＝９０°,那么∠A＋ ∠B＝９０° 判定 定理 有两个角互余 的三角形是直 角三角形 在 △ABC 中,如 果 ∠A＋∠B＝９０°,那么 ∠C＝９０°,即 △ABC 是直角三角形 【例１】如图,在△ABC 中,AD⊥BC,∠１＝∠B．求证: △ABC 是直角三角形． 证明 因为AD⊥BC, 所以∠ADC＝９０°, (１)直角三角形的两 个锐 角 互 余 是 三 角 形 内 角和定理的特例,使用的 前提是在直角三角形中． (２)利用直角三角形 的性 质 定 理 可 以 在 直 角 三角 形 中 确 定 两 个 锐 角 之间 的 数 量 关 系 或 求 角 的度数． (３)运用直角三角形 的判 定 定 理 可 以 根 据 角 的数 量 关 系 判 定 一 个 三 角形为直角三角形． 数学　八年级　下册 １６　 　　解决此类题,一般先根据 直角三角形的性质定理得到 角之间的关系,再由直角三角 形的判定定理找出两个角的 和为９０°,从而判定这个三角 形为直角三角形． 　　勾股定理揭示的是直角 三角形三边关系的定理,只适 用于直角三角形．如果不是直 角三角形,那么三边就不存在 这种关系． 勾股 定 理 的 逆 定 理 是把数转化为形,即通过 计算 来 判 定 一 个 三 角 形 是直角三角形． 所以∠１＋∠C＝９０°．→依据性质定理 因为∠１＝∠B, 所以∠B＋∠C＝９０°．  所以∠BAC＝９０°,即△ABC 是直角三角形． 知识点二　勾股定理 文字语言 符号语言 图示 直角三角形两条直 角边的平方和等于 斜边的平方 在 Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,BC ＝a,AC ＝b, AB＝c,则a２＋b２＝c２ 【例２】如图,在△ABC 中,AB＝１３,BC＝１４,AC＝１５． 求边BC 上的高AD． 解 设BD＝x,则CD＝BC－BD＝１４－x． 在Rt△ABD 中,AD２＝AB２－BD２＝１３２－x２, 在Rt△ACD 中,AD２＝AC２－CD２＝１５２－(１４－x)２, 所以１３２－x２＝１５２－(１４－x)２, 解得x＝５,即BD＝５． 所以AD＝ AB２－BD２ ＝ １３２－５２ ＝１２． 知识点三　勾股定理的逆定理 文字语言 符号语言 图示 如果三角形两边的平 方和等于第三边的平 方,那么这个三角形 是直角三角形 在△ABC 中,若AC２＋ AB２＝BC２,则△ABC 为直角三角形 【例３】在△ABC 中,AB,BC,AC 三边满足AB∶BC∶ AC＝２∶３∶ １３．试判断△ABC 是不是直角三角形, 并说明理由． 第一章　三角形的证明 １７　 解 △ABC 是直角三角形．理由如下: 因为AB∶BC∶AC＝２∶３∶ １３, 不妨设AB＝２k(k＞０),则BC＝３k,AC＝ １３k． 所以AB２＝４k２,BC２＝９k２,AC２＝１３k２． 因为４k２＋９k２＝１３k２, 所以AB２＋BC２＝AC２． 所以△ABC 是直角三角形． 知识点四　互逆命题和互逆定理 １．互逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命 题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题． ２．互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也 是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定 理,这两个定理是一对互逆定理． 知识图解:互逆定理 【例４】先判断下列命题的真假,再写出它的逆命题,并 判断逆命题的真假,最后判断它们是不是互逆定理． (１)三边分别相等的两个三角形全等; (２)两直线平行,同位角相等． 解 (１)原命题是真命题．它的逆命题:全等三角形的 三边对应相等．逆命题也是真命题．它们是互逆定理． (２)原命题是真命题．它的逆命题:同位角相等,两直 线平行．逆命题也是真命题．它们是互逆定理． 由三边关系判定直角 三角形的方法 当给出了三角 形 的 三 边 长的比值关系时,可先通过设 参数表示出三边的长,再利用 勾股定理的逆定理进行判定． (１)一 个 命 题 是 真 命 题, 它的逆命题却不一定是真命 题．原命题与其逆命题的真假 性通常有四种情况:真假、假 真、真真、假假． (２)任何一个