第一章 1 等腰三角形-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

１　 第一章　三角形的证明 １　等腰三角形 􀅰了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握规范证明的基本步骤和书写格式． 􀅰掌握等腰三角形、等边三角形的性质定理和判定定理及其证明方法,以及含 ３０°角的直角三角形的性质定理及其证明方法． 􀅰通过实例理解反证法的含义,并能应用它进行简单的证明． 知识点一　全等三角形的判定定理(AAS)及性质 １．全等三角形的判定定理“AAS” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三      角形全等,简写为“角角边”或“AAS”． ２．全等三角形的判定方法 判定 方法 文字语言 符号语言 图示 SSS 三边分别相 等的两个三 角形全等 在△ABC 和 △DEF 中, AB＝DE, AC＝DF, BC＝EF, ì î í ïï ïï 所 以 △ABC ≌ △DEF (SSS) ASA 两角及其夹 边分别相等 的两个三角 形全等 在△ABC 和 △DEF 中, ∠B＝∠E, BC＝EF, ∠C＝∠F, ì î í ïï ïï 所 以 △ABC ≌ △DEF (ASA)  
 q$6$r (１)判定两个三角形 全等的三个条件中,至少 有一个边相等的条件． (２)符合三组量对应 相等 的 两 个 三 角 形 不 一 定 全 等,不 存 在 “SSA” “AAA”这样的判定三角 形全等的方法． 数学　八年级　下册 ２　 三个角分别相等 的 两 个 三角形不一定全等． 证明线段或角相等的思路 证明两条线段相 等 或 两 个角相等时,如果这两条线段 或两个角分别在两个三角形 中,那么可以尝试证明这两个 三角形全等,根据全等三角形 的对 应 边 (角)相 等 来 进 行 证明． (１)“等边对等角”的 性质 只 能 在 同 一 个 三 角 形中使用; (２)只有在等腰三角 形中 才 有 腰 和 底 角 的 概 念． 续表 判定 方法 文字语言 符号语言 图示 AAS 两角分别相等 且其中一组等 角的对边相等 的两个三角形 全等 在△ABC 和△DEF 中, ∠A＝∠D, ∠C＝∠F, BC＝EF, ì î í ïï ïï 所 以 △ABC ≌ △DEF (AAS) SAS 两 边 及 其 夹 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形全等 在△ABC 和△DEF 中, AB＝DE, ∠B＝∠E, BC＝EF, ì î í ïï ïï 所 以 △ABC ≌ △DEF (SAS) ３．全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等、对应 角相等． 【例１】(陕西中考)如图,∠A＝∠BCD,CA＝CD,点E 在BC 上,且DE∥AB,求证:AB＝EC． 证明 因为DE∥AB,所以∠CED＝∠ABC． 在△ABC 和△CED 中, ∠A＝∠ECD, ∠ABC＝∠CED, AC＝CD, ì î í ï ï ï ï 所以△ABC≌△CED(AAS),所以AB＝EC． 知识点二　等腰三角形的性质定理 文字语言 符号语言 图示 等腰三角形的两底 角相等(简称为“等 边对等角”) 在△ABC 中,因 为AB＝AC,所 以∠B＝∠C 第一章　三角形的证明 ３　 【例２】如图,在△ABC 中,AB＝AC,点 D 在AC 上,BD＝BC＝AD,求△ABC 三个 内角的度数． 解 因为AB＝AC,BD＝BC＝AD, 所以∠ABC＝∠C＝∠BDC,∠A＝∠ABD(等边对 等角)． 设∠A＝x°,则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝２x°, 所以∠ABC＝∠C＝∠BDC＝２x°． 因为在△ABC 中,∠A＋∠ABC＋∠C＝１８０°(三角 形内角和定理), 所以x＋２x＋２x＝１８０,解得x＝３６, 所以在△ABC 中,∠A＝３６°,∠ABC＝∠C＝７２°． 知识点三　等腰三角形的性质定理的推论 文字语言 符号语言 图示 等腰三角形顶 角 的 平 分 线、 底边上的中线 及底边上的高 线 互 相 重 合 (简称为“三线 合一”) 在△ABC 中,AB＝AC, ①因为AB＝AC,AD 平 分 ∠BAC,所 以 AD ⊥ BC,BD＝CD． ②因为 AB＝AC,AD⊥ BC,所 以 AD 平 分 ∠BAC,BD＝CD． ③因为 AB＝AC,BD＝ CD,所 以 AD 平 分 ∠BAC,AD⊥BC qrc
c 【例３】如图①,点 D,E 在△ABC 的边BC 上,AB＝ AC,AD＝AE． 求证:∠BAD＝∠CAE． 图① 　　　 图② 证明 如图②,过点A 作AF⊥BC 于点F． (１)应用等腰三角形的性 质定理可证明同一个三角形 的两个内角相等,从而可以解 决有关角度计算的问题． (２)等腰三角形中三个内 角 之 间 的 关 系:设 顶