第五章 3 分式的加减法-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

第五章　分式与分式方程 １６７　 ３　分式的加减法 􀅰掌握同分母、异分母的分式加减法法则,能进行分式的加减运算． 􀅰明确分式混合运算的顺序,能进行分式的混合运算． 􀅰能解决一些与分式加减有关的简单的实际问题,体会分式的模型作用． 知识点一　同分母分式的加减法 法则 式子表示 同分母的分式相加减,分母不变, 把分子相加减 b a ± c a＝ b±c a 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)牢记分母不变,不能将分母相加减; (２)分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． 【例１】(１)(山东济南中考)计算 m２ m－１－ ２m－１ m－１ 的结 果是　 (　　) A．m＋１　 　B．m－１　 　C．m－２　 　D．－m－２ (２)(山东淄博中考)化简 a２＋b２ a－b ＋ ２ab b－a 的结果是 (　　) A．a＋b B．a－b C． (a＋b)２ a－b D． (a－b)２ a＋b 解析 (１)原 式 ＝ m２－(２m－１) m－１ ＝ m２－２m＋１ m－１ ＝ (m－１)２ m－１ ＝m－１． (２)原式＝ a２＋b２ a－b － ２ab a－b＝ a２＋b２－２ab a－b ＝ (a－b)２ a－b ＝ a－b． 答案 (１)B　(２)B “把分子 相 加 减”是 把 各 个分子作为整体相加减,即各 个分子都应有括号．当分子是 单项式时,括号可以省略;当 分子 是 多 项 式 时,括 号 不 能 省略． 数学　八年级　下册 １６８　 (１)通分后,每个分式的 值都要和原分式相等,不仅分 母 要 变 形,分 子 也 要 同 时 变形． (２)在确定几个分式的最 简公分母时,不要遗漏只在一 个分式的分母中出现的字母 及其指数． 通分与约分的联系与区别 (１)联系:都是根据分式 的基本性质对分式进行恒等 变形,即变形之后都不改变分 式的大小． (２)区别:约分是针对一 个分式而言的,约分可使分式 化简;通分是针对两个或两个 以上分式而言的,通分可使异 分母 的 分 式 变 为 同 分 母 的 分式． 知识点二　分式的通分 １．通分的概念 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母 的分式,这一过程称为分式的通分． ２．最简公分母 各分母系数的最小公倍数与各分母里所有因式的最 高次幂的积． ３．确定最简公分母的方法 (１)当分母是单项式时,各分母系数的最小公倍数是 最简公分母的系数,相同的字母取最高次幂作为最简 公分母的因式,只在一个分母里出现的字母,则连同 它的指数一起作为最简公分母的因式． (２)当分母是多项式时,应先把多项式因式分解,再取 相同因式的最高次幂和各系数的最小公倍数及每一 个不同因式的积作为最简公分母． ４．分式通分的一般步骤 (１)将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多 项式时,应先进行因式分解． (２)确定最简公分母,即各分母的所有因式的最高次 幂的积． (３)将分子、分母同乘同一个因式,使分母变为最简公 分母． 【例２】通分: (１) ２a b ,c ab ,x ２ab ;　(２) a x－y , b ３y－３x , c x２－２xy＋y２ ． 解 (１)因为最简公分母是２ab, 所 以 ２a b ＝ ２a􀅰２a b􀅰２a ＝ ４a２ ２ab ,c ab ＝ c􀅰２ ab􀅰２ ＝ ２c ２ab , x ２ab＝ x ２ab． (２)因为３y－３x＝－３(x－y),x２－２xy＋y２＝(x－ y)２,所以最简公分母为３(x－y)２, 所以 a x－y ＝ a􀅰３(x－y) (x－y)􀅰３(x－y) ＝ ３a(x－y) ３(x－y)２ , 第五章　分式与分式方程 １６９　 b ３y－３x ＝ － b ３(x－y) ＝ － b􀅰(x－y) ３(x－y)􀅰(x－y) ＝ － b(x－y) ３(x－y)２ , c x２－２xy＋y２ ＝ c (x－y)２ ＝ c􀅰３ (x－y)２􀅰３ ＝ ３c ３(x－y)２ ． 知识点三　异分母分式的加减法 法则 式子表示 异分母的分式相加减,先通分,化 为同分母的分式,再按同分母分 式的加减法法则进行计算 b a ± d c ＝ bc ac ± ad ac ＝ bc±ad ac 【例３】计算:(１) ５c ６a２b＋ ７a ８b２c－ b １２a２c ; (２) b a＋b＋ ab b２－a２ ;　(３)x＋１－ x２＋２x x＋１ ． 解 (１)原式＝ ５c􀅰４bc ２４a２b２c＋ ７a�