第五章 1 认识分式-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

１５３　 第五章　分式与分式方程 １　认识分式 􀅰了解分式及其相关概念,能用分式表示实际问题中的数量关系． 􀅰理解并能熟练地求出使分式有意义的条件和使分式的值为０的条件． 􀅰理解分式的基本性质,了解分式约分的依据;理解最简分式的概念,会通过约 分将分式化为最简分式． 知识点一　分式的概念 １．分式满足的三个条件 ２．分式与分数、整式的区别与联系 (１)分数的分母是整数,而分式的分母是整式,且必须 含有字母;分数是分式中字母取特定值后得到的数． (２)区别整式和分式的唯一标准是看分母中是否含有 字母． 【例１】下列式子中,哪些是整式? 哪些是分式? －３x, x y ,x＋y ３π ,２ ３x ２y,－７xy２,－ １ ８x ,３ ５＋y ,x－y ５ , a－１ a ,－５, ４a a ,１ ５x＋y．    
 解 整式有－３x, x＋y ３π ,２ ３x ２y,－７xy２,－ １ ８x ,x－y ５ , －５, １ ５x＋y ; 分式可以看成 是 两 个 整 式的商,它的分子是被除式, 分母是除式,分数线相当于除 号,分 数 线 还 具 有 括 号 的 作 用,例如,x＋y x－y 可表示为(x＋ y)÷(x－y),但 (x＋y)÷ (x－y)是运算式,不是分式, 因为它不符合 A B 的形式． 数学　八年级　下册 １５４　 分式是一个形式定义,因 此判断一个式子是不是分式, 不能把原式化简后再判断,而 只需看原式的本来“面目”是 否符合分式的定义即可． (１)分式有、无意义与分 母有关,与分子无关． (２)分母不为０,并不是说 分母中的字母不能为０,而是 表示分母的整式的值不能为 ０,二者不能混淆． (３)因为分式的值是在分 式有意义的前提下才可以考 虑的,所以分式A B 的值为０的 条件是 A＝０且 B≠０,二者 缺一不可． 要使分式有意义,分式的分母 不能为零． 分式有x y ,３ ５＋y ,a－１ a ,４a a ．
 
 知识点二　分式有(无)意义、分式值为０的条件 分类 条件 分式有意义 分式的分母不等于０,即在 A B 中,B≠０ 分式无意义 分式的分母等于０,即在 A B 中,B＝０ 分式值为０ 分式的分子等于０,且分母不等于０,即在 A B 中, A＝０,且B≠０ 【例２】(１)(湖南岳阳中考)要使分式 ５ x－１ 有意义,则x 的取值范围是　　　　． (２)若分式－ １ ６x＋２ 在实数范围内无意义,则x (　　) A．不等于 １ ３　　　 　　 　B． 等于１ ３ C．不等于－ １ ３ D． 等于－ １ ３ (３)(广西桂林中考)若分式 x－２ x＋３ 的值等于０,则x 的 值是 (　　) A．２　　　　B．－２ C．３　　　　D．－３ 解析 (１)因为分式 ５ x－１ 有意义,所以x－１≠０,解得 x≠１． (２)要使该分式在实数范围内无意义,须使６x＋２＝ ０,解得x＝－ １ ３．   
  
  
 (３)因为分式 x－２ x＋３ 的值等于０,所以 x－２＝０, x＋３≠０,{ 解得 x＝２． 答案 (１)x≠１　(２)D　(３)A 第五章　分式与分式方程 １５５　 知识点三　分式的基本性质 文字语言 字母表示 举例 分式的分子与分 母都乘(或除以) 同一个不等于零 的整式,分式的 值不变 b a ＝ b􀅰m a􀅰m (m≠０) ３x２ ２xy２ ＝ ３x２m ２xy２m (m≠０) b a ＝ b÷m a÷m (m≠０) ３x２ ２xy２ ＝ ３x２÷x ２xy２÷x ＝ ３x ２y２ 【例３】下列等式的右边是怎样由左边得到的? (１) a ２b＝ ac ２bc (c≠０);　(２) x３ xy ＝ x２ y ; (３) (x－y)２ x２－y２ ＝ x－y x＋y ; (４) １ x－１＝ x＋１ x２－１ (x＋１≠０)． 解 (１)分式的分子、分母同时乘c,c≠０． (２)分式的分子、分母同时除以x,x≠０． (３)分式的分子、分母同时除以(x－y),x－y≠０． (４)分式的分子、分母同时乘(x＋１),x＋１≠０． 知识点四　分式的约分 １．分式约分的概念 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称 为分式的约分． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:约分前后的分式是相等的,约分是一种恒等 变形． ２．分式约分