第四章 3 公式法-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

数学　八年级　下册 １４２　 ３　公式法 􀅰理解平方差公式,并能运用平方差公式将多项式因式分解． 􀅰理解完全平方公式,并能运用完全平方公式将多项式因式分解． 􀅰能综合应用各种因式分解的方法对多项式进行因式分解． (１)语 言 叙 述 中 所 说 的 “两个数”是a,b,而不是a２, b２,其 中a,b 可 以 表 示 单 项 式,也可以表示多项式． (２)如果多项式的各项含 有公 因 式,那 么 先 提 取 公 因 式,再利用平方差公式进行因 式分解． 系数能平方, 指数要成双, 减号在中央, 平方差公式来帮忙． 知识点一　利用平方差公式因式分解 字母表示 a２－b２＝(a＋b)(a－b) 语言叙述 两个数的平方差等于这两个数的和与 这两个数的差的积 可利用平方差公式因 式分解的式子的特点 (１)式子是二项式;(２)式子的两项的 符号相反;(３)式子的每一项的绝对值 都能写成平方的形式 【例１】把下列各式因式分解: (１)(江西中考改编)x２－４y２; (２)４a２－２５b２; (３)(山东威海中考改编)２x３－１８xy２; (４)１６(a－b)２－２５(a＋b)２． 解 (１)x２－４y２＝x２－(２y)２ ＝(x＋２y)(x－２y)． (２)４a２－２５b２＝(２a)２－(５b)２ ＝(２a＋５b)(２a－５b)． (３)２x３－１８xy２＝２x(x２－９y２) ＝２x(x＋３y)(x－３y)． (４)１６(a－b)２－２５(a＋b)２ ＝[４(a－b)]２－[５(a＋b)]２ ＝[４(a－b)＋５(a＋b)][４(a－b)－５(a＋b)] 第四章　因式分解 １４３　 ＝(９a＋b)(－a－９b) ＝－(９a＋b)(a＋９b)． 知识点二　利用完全平方公式因式分解 １． 字母表示 a２＋２ab＋b２＝(a＋b)２,a２－２ab＋b２＝ (a－b)２ 语言叙述 两个数的平方和加上(或减去)这两个数 的积的２倍,等于这两个数的和(或差) 的平方 可利用完全平方 公式因式分解的 式子的特点 (１)式子是三项式;(２)式子的首项和末项 分别是两个数(或两个式子)的平方的形 式,且这两项的符号都为正;(３)中间一项 是这两个数(或两个式子)的积的２倍,符 号正、负均可 ２．完全平方式:形如a２±２ab＋b２ 的式子称为完全平 方式． ３．公式法:根据因式分解与整式乘法的关系,利用乘法 公式把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫 做公式法． 【例２】把下列各式因式分解: (１)(江苏连云港中考改编)９x２＋６x＋１; (２)(湖北黄石中考改编)a３－２a２＋a; (３)４(a－b)２－１２(a－b)＋９． 解 (１)９x２＋６x＋１＝(３x)２＋２×３x×１＋１２＝(３x＋１)２． (２)a３－２a２＋a＝a(a２－２a＋１)＝a(a－１)２． (３)４(a－b)２－１２(a－b)＋９＝[２(a－b)]２－２×２(a－ b)×３＋３２＝[２(a－b)－３]２＝(２a－２b－３)２． 知识点三　因式分解的一般步骤 　第１步,提:指多项式中若含有公因式,一般先提取公 因式; 第２步,套:指提取公因式后,符合完全平方公式或平 方差公式特征的多项式,均可套用公式进行因式 分解; (１)利用完全平方公式因 式分解时,若中间的乘积项与 首、末两项的符号相同,则因 式分解的结果是和的平方;若 中间的乘积项与首、末两项的 符号相反,则因式分解的结果 是差的平方． (２)只有符合完全平方式 特点的二次三项式,才可以运 用完 全 平 方 公 式 进 行 因 式 分解． (３)当给定一个二次三项 式因式分解时,首先考虑的是 提公 因 式 法,然 后 是 完 全 平 方式． (１)因式分解的结果一定 要彻 底,即 各 项 不 再 含 有 公 因式． (２)要注意检查每个因式 是否还可以继续分解以及分 解的结果是不是几个整式积 的形式． 数学　八年级　下册 １４４　  可以利用x２＋(p＋q)x＋ pq＝(x＋p)(x＋q)进行因 式分解,这种方法叫做十字相 乘法． 第３步,查:一查括号,即因式分解的结果只能出现小 括号,若过程中出现中括号、大括号,则需要转化成小 括号的形式,同时化简括号内的多项式;二查各项是 否分解彻底,即要分解到不能提取公因式、不能运用 公式法分解为止． 【例３】把下列各式分解因式: (１)５x４－５x２; (２)２a４－４a２b２＋２b４; (３)x４－８１y４． 解 (１)原式＝５x２(x２－１)＝５x２(x＋１)(x－１)． (２)原式＝２(a４－２a２b２＋b４)＝２(a２－b２)２＝２(a＋ b)２(a－b)２． (３)原式＝(x２)２－(９y２)２＝(x２＋９y２)(x２－９y２)＝ (x２＋９y２)(