6.4.3 余弦定理、正弦定理 第四课时余弦定理、正弦定理应用举例-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例 知识点归纳 一、基线的概念与选取原则 ①基线：根据测量的需要而确定的线段叫做 . ②选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线 ，测量的精确度越高. 二、测量中相关角的概念 ①仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角，如图所示. ②方位角 指从 顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). ③方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). 提示：(1)方向角属于水平面内的角；(2)仰角与俯角是铅垂面内的角. 题型演练 题型一　距离问题 例1 如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？ 小结　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是： (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解. 变式1 如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离. 题型二　高度问题 例2 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________. 小结　求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法是： (1)分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形； (2)理清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形. 变式2 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求此山的高度.(精确到1 m，参考数据：sin 35°≈0.573 6，＝1.414) 题型三　角度问题 例3 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 小结　求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是： (1)明确各个角的含义； (2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图； (3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解. 变式3 某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向. 总结 1.重要思想与方法 (1)求解距离、高度、角度问题的步骤 (2)利用余弦定理和正弦定理解决实际问题体现了转化与化归和数形结合思想. 2.易错易混点提醒 解实际应用问题时不仅要正确理解题意和相关术语，还要正确转化为解三角形问题. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（    ） A．60s B．80s C．100s D．120s 2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知飞机的飞行航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行26到达B处，测得目标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为（    ）    A． B． C．5 D． 3．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）金山寺位于江苏