第2章 直线与圆的位置关系（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（浙教版）

第2章 直线与圆的位置关系（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、直线与圆的位置关系 1.直线和圆有几种位置关系 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，�这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[ 2.切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.弦切角定理及其逆定理 弦切角定理(需证明) 弦切角的定义 顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得弧所对得圆周角得度数． 如图所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角． 证明过程略. 弦切角定理逆定理(需证明) 弦切角定理逆定理 如右图,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,则PA是△ABC的外接圆的切线. 证明:只要用切线的定义,要证AP垂直于过切点的半径,先作过A点的直径,连接DB,则∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°. 所以PA是圆O的切线. 【例1】（2023·广东广州·九年级期末）已知,的半径,若,则直线与位置图形可能为（　　） A．  B．  C． D．   【变式1】（2023·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是 ． 【变式2】（2023·江苏扬州·九年级统考期中）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【变式3】（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 二、切线长定理 切线长与切线长定理 【例2】（2023·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·江苏连云港·九年级校考期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接， 交于点G，且，连接并延长交于点 H，则的最小值是 ． 【变式3】（2023·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．      (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 三、三角形的内切圆 1、内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆， 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形． 三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 2、三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等； 三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【例3】（2023·河南漯河·九年级统考期中）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【变式】（2023·江苏南京·九年级统考阶段练习）如图，点分别在的两边上．    (1)尺规作图：求作，使它与都相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则的半径为___________． 核心素养提升 1. 推理能力-进行证明与说理 1．（2022下·北京·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 2．如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．    (1)求证：OD∥BC； (2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD． 2.模型观念-构造方程模型进行计算 3．（2023·江苏淮安·九年级校考期中）已知如图，在中，，，．    (1)请用尺规作图的方法，在上找一点O，以O为圆心作圆，使