重难点7-2 圆锥曲线综合应用（7题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点7-2 圆锥曲线综合问题 圆锥曲线综合问题是新高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定曲线、最值范围、证明及存在性问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。 【题型1 圆锥曲线的定值问题】 满分技巧 1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 2、直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 【例1】（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由． 【变式1-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值. 【变式1-2】（2023·山东·实验中学校考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值． 【变式1-3】（2023·上海·高三进才中学校考期中）双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； （3）设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【题型2 圆锥曲线的定点问题】 满分技巧 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 【例2】（2023·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆的半焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线交椭圆于两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 【变式2-1】（2023·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）已知椭圆，长轴长为4， 离心率是 （1）求椭圆 C的标准方程； （2）斜率为且不过原点的直线交椭圆C于 A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点 G，交直线于点D. 若 证明：直线经过定点，并求出定点坐标. 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）设动点P到定点的距离与到定直线l：的距离之比为2． （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）若Q为l上的动点，A，B为E与x轴的交点，且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M，QB与E的另一个交点为N，求证：直线MN过定点． 【变式2-3】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线分别与相切于点，，点在曲线上，且在，之间，曲线在处的切线分别与，相交于，． （1）求面积的最大值； （2）证明：的外接圆经过异于点的定点． 【题型3 圆锥曲线的定直线问题】 满分技巧 解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤： 1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。 【例3】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知过点的双曲线的渐近线方程为. （1）求C的方程； （2）已知A，B是C的实轴端点，过