专题03 两条直线的位置关系-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题03 两条直线的位置关系 目录 新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络 基础知识：知识点全面梳理，掌握必备 学以致用：考点剖析，提升能力 小试牛刀：过关检测，成果评定 一．两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与平行的充要条件：存在，使得，，且 二．两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与垂直的充要条件： ； 【注意】斜率法： 和垂直； 三、两直线重合 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与重合的充要条件：存在，使得，，且 四、两直线相交 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与相交的充要条件： ； 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，； 【注意】还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否？ 两直线的位置关系的判断方法：直线. （1）向量法： 和相交； 和平行； 和重合. （2）斜率法： 和相交； 和平行； 和重合. 注；应用此法的前提是两直线斜率均存在； 五.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 3．两条平行直线间的距离公式的推导 对于两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）． 在直线上任取一点，则点到的距离即为与之间的距离，则． ∵点在直线上，∴，即． ∴两条平行直线， （其中A与B不同时为0，且）之间的距离为． 六．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 1． 两条直线的平行关系（共7小题） 1、已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，则l1与l2的关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交 D．以上答案都不对 2、设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3.（2023春·上海市控江中学高一下期末） 已知常数，直线：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.（2023春·上海市崇明·一模）已知方程组无解，则实数的值等于 . 5.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________. 6．（2021秋•嘉定区校级期末）