专题01 直线的倾斜角与斜率-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题01 直线的倾斜角与斜率 目录 新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络 基础知识：知识点全面梳理，掌握必备 学以致用：考点剖析，提升能力 小试牛刀：过关检测，成果评定 1． 直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. ②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 2． 直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 补充：斜率和倾斜角的特点 ①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； ③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 3． 直线斜率的坐标表示 1．公式：经过两点的直线的斜率公式为． 2．公式的推导 如图，设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图，也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 4． 直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则. 1． 直线的倾斜角（共5小题） 1.已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ） A．0°≤α<180° B．15°<α<180° C．15°≤α<180° D．15°≤α<195° 2.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线x=1的倾斜角为___________ 3.（2022·上海市新中高级中学高三期中）直线 的倾斜角为_______. 4.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线2x-y-1=0的倾斜角是__________. 5．（2022春•嘉定区校级月考）已知直线的斜率，x≠0，则直线的倾斜角α的取值范围为 　　． 二．直线的斜率（共3小题） 1.（2022•徐汇区校级开学）若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是__________． 2．（2022春•杨浦区校级期中）设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　　． 3．（2022春•金山区期中）经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为 　 　． 三．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共5小题） 1.（2022春•金山区期中）经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为 　 　． 2．（2022春•嘉定区校级月考）经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，则实数t＝　　． 3．（2022春•杨浦区校级期中）设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　　． 4．（2022春•黄浦区校级月考）直线l经过点（﹣2，0）和（1，），则直线l的倾斜角为 　 　． 5．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 四．直线斜率与直线方向向量（共4小题） 1.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y= (　　) A. B. C.-1 D.1 2.直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 3.（2023秋·上海市松江区·阶段练习）若直线