专题1-16 导数9类常考压轴小题专练-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-16 导数9类常考压轴小题专练 知识点梳理 题型一 函数嵌套 题型二 双变量问题 题型三 三次曲线 题型四 利用导数求体积最值 题型五 恒成立问题 题型六 新定义问题 题型七 利用导数研究函数零点问题 题型八 隐零点 题型九 极值点偏移 知识点梳理 一、已知函数有零点(方程有根)或已知零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)，常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： （1）证明（或）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （3）应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 题型一 函数嵌套 1． 已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2． 函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 3． 已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 4． （2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为 A． B．或 C．或 D．或或 5． 已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ） A． B． C． D． 题型二 双变量问题 1． 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 2． 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是 ． 3． 函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是 ． 4． 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C．   D． 5． 已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D． 题型三 三次曲线 1． （多选）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 2024届·广东省“六校”高三上学期9月联合摸底 2． （多选）已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 2023届·深圳一模 3． 已知函数，若，其中，则（    ） A． B． C． D．的取值范围为 浙江省衢州、丽水、湖州三地一模 4． 已知函数，若，其中，则（    ） A． B． C． D． 5． 已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四 利用导数求体积最值 1． （2023·深圳·高二期末）如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 . 2023届·广东省汕头市三模 2． 将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 盐田高级中学2023届高三上学期11月月考