专题6.3 相似三角形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.3 相似三角形中的动点问题 【典例1】如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．    （1）当点Q在线段上时，求证：． （2）当时，求的面积． （3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）证明即可得到答案； （2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．②当点Q在上时，如图2，作于点M，设，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当点Q在上时，设，则，若点F在Q的右侧，如图3，当，则，作于点H，而， ∴，则，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，，，，作于点N，于点G．，则，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案． 【解题过程】 （1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，， ∴， ∴． （2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．    由，得． 由，得， ∴， ∴． ②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．    ，． 同理：， ∴， ∴． 同理：，得， ∴． ∴，解得， ∴． ∴的面积为或． （3）①当点Q在上时，设，则．  若点F在Q的右侧，如图3，当，则． 作于点H，而， ∴，则， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．    ∵， 又∵ ∴． ∵由结合对顶角可得：，而， ∴， ∴，即，则， ∴． ②当点Q在AD上时，如图5，，，， 作于点N，于点G．，则，    由，得， ∴， ∴． 同理可得：， 设，则，． ∴，， 由，得，， ∴，． 由题意，， 设，则，，， 由，得，即， 化简，得， 解得（舍去），． ∴． 综上所述，BP的长为或2或． 1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒．    （1）求时，的面积； （2）直线、点在运动过程中，是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； （3）当为何值时，与相似． 2．（2022·四川·九年级专题练习）如图1，已知矩形的边长，．某一时刻，动点M从点A出发，沿以的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿方向以的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t． （1）若是等腰直角三角形，则___________（直接写出结果）． （2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接，试求的最小值． 3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m． （1）当m＝1时，求PE的长； （2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由； （3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图（1），在矩形中，cm，，E、F分别是中点，连接，点P从点E出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为（），解答下列问题： （1）当时，______．（用含有t的式子表示） （2）当点Q在线段上运动时，若的面积为，求t的值； （3）当t为______时，为等腰三角形?（直接写出结果）． 5．（2023秋·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考阶段练习）如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止运动．设运动时间为秒．    （1）用含的代数式分别表示线段_______________、_______________． （2）在运动过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在某一时刻，使得为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 6．（2022·山东青岛·统