专题6.2 相似三角形判定与性质的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.2 相似三角形判定与性质的综合 【典例1】在四边形中，，，点是边的中点，连接、，．    （1）如图1，若，连接，求证：； （2）如图2，点是边的中点； ①若，求的长； ②直接写出的值． 【思路点拨】 （1）利用等腰直角三角形的性质、勾股定理可求，，，然后利用两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形是相似三角形即可得证； （2）①过D作于M，交于N，连接，利用三线合一的性质求出，证明四边形是平行四边形，得出，利用三角形中位线定理得出∴，，可证，得出，设，则，，，证明，得出，可求，，然后利用勾股定理即可求解； ②过E作交于Q，可证，求出，证明，得出，设，则，，利用平行线分线段成比例可求，，则，，证明，可求，，，最后代入化简即可． 【解题过程】 （1）证明：∵，，点是边的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过D作于M，交于N，连接，   ， 又， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵F是中点，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②过E作交于Q，   ， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 1．（2023·安徽滁州·校联考模拟预测）如图，在和中，，，，P为上一点（不与点A、C重合），连接，作交于点Q．    （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若P为的中点，连接分别交于点，求的值． 2．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点．    （1）求的长； （2）若，求证：； （3）若点在线段上（不与、重合），以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在菱形的边上，画出图形并求的长． 3．（2023·山东临沂·统考二模）综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．老师给同学准备了一些纸，已知纸的长宽之比为． 操作探究：如图1，将纸沿过点A的直线折叠，使点D的对应点落在边上展开后折痕交于点E．      （1）的度数； （2）求证：． （3）拓展延伸：如图2，在图1的基础上，继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点落在上，展开后折痕交于点F，连接．请判断的形状并说明理由． 4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）如图1，在中，，点是斜边的中点，作交的于．    （1）求证：； （2）如图2，过点作交的延长线于点，若 ①求证：； ②求的值． 5．（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）点E在矩形的对角线上，于点G，交于点F．    （1）如图1，若平分，求证：； （2）如图2，取的中点M若，求的值； （3）如图3，过的中点O作于点P，延长交于点Q，连接交于点N．若求证：． 6．（2023春·吉林·九年级专题练习）如图①，在正方形中，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．    （1）【问题发现】在图①中小明想过点M分别作的垂线，发现和有特殊的关系，请你判断的形状，并根据小明的方法给出证明； （2）【问题解决】直接写出图①中的取值范围：　 　； （3）【类比探究】如图②，在矩形中，，M为对角线上一点，且，则　 　． 7．（2023春·安徽·九年级专题练习）点是内一点，平分，延长交于点，延长交于点．    （1）如图，若，证明：； （2）如图，若，证明：； （3）如图，若，，，，求的值． 8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．    （1）如图1，求的度数． （2）如图2，若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长． 9．（2022秋·四川成都·九年级川大附中校考期中）（1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．    ①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________； （2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；    （3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．    10．（2023春·重庆江北·九年级校考阶段练习）如图，在与中，，，，点在边上．    （1）如图1，若点与点重合，点在的延长线上，若，连接，求； （2）如图2，若点恰好在的高上，点在上，，且，求证：； （3）如图，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转过程中，当的值最小时，直接写出的值．