专题6.1 由平行截线求相关线段的长或比值（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.1 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例1】矩形ABCD中，AF、CE分别平分∠BAD，∠BCD，并交线段BC，AD于点F，E．当动点P从点A匀速运动到点F时，动点Q恰好从点C匀速运动到点B．记AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣x＋10． （1）判断AF与CE的位置关系，并说明理由． （2）求AF，CF的长度． （3）①当PQ平行于△ECD的一边时，求所有满足条件的x的值． ②连接DB，对角线DB交PQ于点O，若点O恰好为PQ的三等分点，请直接写出x的值． 【思路点拨】 （1）直接利用角平分线的性质再结合矩形的性质进而可得出AFCE； （2）由AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣x＋10.可得BC＝10，AF＝4，根据角平分线的性质再结合矩形的性质求出∠BAF＝45°，可得出BF＝AF＝4，即可得CF＝6； （3）①分三种情况：PQEC；PQCD；PQED，根据点P、点Q的位置结合y与x的关系式即可求解； ②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H，分两种情况根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【解题过程】 解：（1）AFCE， 理由：∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD， ∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠FCD＝90°，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED， ∴∠FAE＝∠CED， ∴AFEC； （2）∵AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣x＋10． 当x＝0时，y＝10，即BC＝10， 当y＝0时，x＝4，此时AP＝4＝AF， ∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝45°， ∴BF＝AF•sin45°＝AF＝4， ∴CF＝BC﹣BF＝6； （3）①分三种情况： PQEC时， 由（1）可知AFEC， ∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上， ∴此时点Q与点F重合，y＝BQ＝BF＝4， ∴4＝﹣x＋10．解得：x＝； PQCD时，如图： ∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD，∠B＝90°， ∴∠AFB＝45°，ABPQCD， ∴＝＝， ∴＝，即， 解得：x＝； PQED时， ∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上， ∴此时点P与点F重合，x＝AF＝4， 综上，所有满足条件的x的值为，，4； ②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H， ∵△ANP是等腰直角三角形， ∴AN＝PN＝GH＝BM＝x，MQ＝y﹣x， ∵点O恰好为PQ的三等分点， ∴分两种情况： 情况一：PO＝PQ时， ∵OGBC，OTPM， ∴，， ∴HO＝MQ＝，OT＝PM＝BN＝， ∴OG＝HO＋HG＝＋x＝=﹣， ∵点O在BD上， ∴， ∴ 解得x=-（舍去） 情况二：QO＝PQ时， ∴HO＝MQ＝，OT＝PM＝BN＝， ∴OG＝HO＋HG＝＋x＝﹣x＋， ∵点O在BD上， ∴， ∴ 解得x＝， ∴x的值为． 1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在等边中，点，分别在，的延长线上，且，的延长线交于点．    （1）求的度数； （2）延长至点，使，连接交于点，依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明． 2．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）如图，中，，两点分别在边，上，点在上，连接，，，已知，，．      （1）求证：； （2）连接，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的值（用含的代数式来表示）．  3．（2023·北京·九年级专题练习）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，． （1）求证：． （2）当，且为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由． （3）求∶∶，时，求的长． 4．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，中，D，E两点分别在边，上，点F在上，连接，，，已知，，．    （1）求证：； （2）连接AF，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的值（用含k的代数式来表示）． 5．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．    （1）求证：； （2）如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式； （3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积． 6．（2022春·北京·九年级校联考期中）如图，在正方形中，是边上一动点不与点，重合，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，过点作于． （1）①依题意补全图形；②求的度数． （2）连接，请用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明． 7．（2022秋·辽