专题5-1 弧度制与三角函数12种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019必修第一册）

专题 5.1 弧度制与三角函数 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 扇形弧长、周长与面积 · 【题型二】 扇形最值 · 【题型三】 扇形内切圆 · 【题型四】 时钟与齿轮 · 【题型五】 任意角：n倍角 · 【题型六】 任意角：n分角 · 【题型七】 任意角：角域 · 【题型八】 三角函数定义 · 【题型九】 三角函数定义求参 · 【题型十】 圆上动点 · 【题型十一】 三角函数值的符号 · 【题型十二】 单位圆与三角函数 · · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】扇形弧长、周长与面积 【典例分析】 1.（2023下·山东潍坊·高一校联考期中）某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线有个交点（不含点）时，则螺线长度为（    ）    A． B． C． D． 2.（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【提分秘籍】 弧长公式和扇形面积公式 在角度制下：弧长公式和扇形面积公式分别为：L=   S= 在弧度制下：弧长公式和扇形面积公式分别为： L=    S= = 【变式演练】 1.（2022上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，（    ） A．9 B．8 C．16 D．15 2.（2023上·江苏徐州·高一统考期末）拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是（    ） A． B． C． D． 3.（2023上·山西长治·高三校联考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型二】扇形最值 【典例分析】 1.（2023上·江西吉安·高一吉安一中校考期末）已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2.．（2022下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【提分秘籍】 求扇形面积和周长最值： 1. 凑配系数，构造均值不等式 2. 消元，构造关于半径或者角度等的一元二次函数 【变式演练】 1.（2021上·四川成都·高一校联考期末）已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C．1 D．2 2.．（2020上·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）面积为8的扇形，要使它的周长最小，则它的圆心角为多少（ ）rad． A．2 B． C． D． 3.（2020上·安徽合肥·高咦长丰县第一中学校考阶段练习）若扇形的周长等于40cm，则扇形面积的最大值是（    ）cm2. A．400 B．200 C．100 D．50 【题型三】扇形内切圆 【典例分析】 1.（2021·上海·高一专题练习）一个圆心角为的扇形，它的弧长是，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（    ） A．2 B．4 C． D． 2.（2021下·辽宁沈阳·高一阶段练习）中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为 （ ） A．2 B． C．1 D． 【提分秘籍】 扇形内切圆半径计算： 【变式演练】 1.（2022上·广东佛山·高一阶段练习）中心角为的扇形，它的弧长为