专题08 三角函数的概念-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题08 三角函数的概念 一、角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 二、弧度制的定义和公式 1.定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2.公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.特殊角的互化 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 　　 　　 　　 　　 　　 　　 π 　　 2π 4.提醒：有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3、 任意角度三角函数 (1)定义 设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 拓展：任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r， 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4、 单位圆与三角函数 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 五、同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. 六、诱导公式 　角 函数　 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 七、特殊角的三角函数值 8、 重要结论 1.轴线角： 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 2.象限角： 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 3.同角公式应用拓广 (1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法: 等. (3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化. 题型01： 终边相同的角 【典例1】（2015·山东·统考高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）与角终边相同的角可以表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【规律方法】 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． 题型02： 扇形弧长、面积、圆心角的计算 【典例3】（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半