专题09 三角恒等变换-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题09 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 2．变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； . sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ， cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ， 3.适用条件： 公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的． 4．辅助角公式： 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.S2α：sin 2α＝2sinαcosα； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝. 2.变形公式： （1）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，sin αcos α＝sin 2α. （2）升幂公式 1＋cos α＝2cos2； 1－cos α＝2sin2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝. （3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 （4）sin 2α＝＝； cos 2α＝＝. tan ＝＝. 3．公式的适用条件： 在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式． 三、简单的三角恒等变换 1．半角公式(不要求记忆) sin＝±，cos＝±　，tan＝±　＝＝.符号由所在的象限决定． 2.积化和差与和差化积 (1)积化和差公式(不要求记忆和应用) sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式(不要求记忆和应用) sinx＋siny＝2sincos， sinx－siny＝2cossin， cosx＋cosy＝2coscos， cosx－cosy＝－2sinsin． 四、常见变换规律 1.角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×，15°＝45°－30°＝60°－45°＝，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)．－α＝－， －α＝－，＋α＝π－，＋α＝π－. 2.名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 题型01： 两角和与差的三角函数公式的“正用” 【典例1】（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（  ） A． B． C． D． 【典例2】（2022上·广东珠海·高一校考期末）已知角的终边过点，且． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【总结提升】 三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 题型02： 两角和与差的三角函数公式的“逆用”“变用” 【典例3】（2020·全国·统考高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【典例4】（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． 题型03： 利用“角的变换”求值 【典例5】（202